Usando mudanûÏa de variûÀveis, calcular $ \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $ com integral duplaA f(x, y) d x d y e f definidos por :
A e f(x, y)=1raizx^2+y^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaA 1raizx^2+y^2,dx,dy, onde o domínio é A=(x,y):1<= y<=3,,0<= x<= y. O conteúdo principal é usar mudança para coordenadas polares. Vamos precisar expressar x,y em termos de r,theta, reescrever o integrando e identificar os limites em r e theta.

Passo 2

Fazendo a troca x=rcostheta, y=rsintheta, sabemos que x>=0,,y>=1 e x<= y vira costheta<=sintheta, ou seja thetain[pi/4,pi/2]. Além disso, a condição 1<= y<=3 1<= rsintheta<=3, então rin[1/sintheta,;3/sintheta].

Passo 3

O integrando f(x,y)=1/raizx^2+y^2=1/r e o elemento de área vira dx,dy=r,dr,dtheta. Logo
integral duplaA1raizx^2+y^2,dx,dy =integraltheta=pi/4^pi/2integralr=1/sintheta^3/sintheta1r;r,dr,dtheta = integralpi/4^pi/2integral1/sintheta^3/sintheta1,dr,dtheta

Passo 4

A integral em r é imediata:
integral1/sintheta^3/sintheta1,dr = 3sintheta-1sintheta=2sintheta

Passo 5

Portanto ficamos com
integralpi/4^pi/22sintheta,dtheta = 2integralpi/4^pi/2csctheta,dtheta

Passo 6

Sabendo que integralcsctheta,dtheta=lnl|tan(theta/2)r|+C, temos
2l[lntan(theta/2)r]pi/4^pi/2 =2l(lntan(tfracpi4)-lntan(tfracpi8)r)= -2lntan(tfracpi8)

Passo 7

Como tan(pi/8)=raiz2-1, então -2ln(raiz2-1)=2lntfrac1raiz2-1=2ln(raiz2+1).

Resposta

2\ln(\sqrt{2}+1)

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