Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral (x^3 - 2)^1/7 x^2 ,dx usando o Método da Substituição, que consiste em identificar uma parte da integral cuja derivada também aparece no integrando, facilitando a antiderivação.

Passo 2

Vamos escolher como substituição a parte interna da potência, isto é, u = x^3 - 2. Então calculamos a diferencial de u:
du = 3x^2 ,dx
Isso vem da regra de derivação de x^3.

Passo 3

Agora isolamos x^2,dx em termos de du:
x^2 ,dx = 13,du
Com isso, o integrando original se transforma envolvendo apenas u.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos:
integral (x^3 - 2)^1/7 x^2 ,dx = integral u^1/7 cdot 13 ,du = 13 integral u^1/7 ,du
Agora integramos em u, usando a fórmula integral u^n ,du = u^n+1n+1 + C:
13 cdot u^1/7 + 11/7 + 1 + C = 13 cdot u^8/78/7 + C = 724 u^8/7 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = x^3 - 2. A antiderivada final é:
724 (x^3 - 2)^8/7 + C

Resposta

724 (x^3 - 2)^8/7 + C

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