Calcule a massa do sólido x+y+z <= 1, x >= 0, y >= 0 e z >= 0, sendo a densidade dada por rho(x, y, z)=x+y.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
(x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z>=0,;x+y+z<=1
com densidade rho(x,y,z)=x+y.
O conteúdo aqui é cálculo de integral tripla para massa, usando a fórmula
m=integral triplaV rho(x,y,z),dV

Passo 2

Escrevemos a massa como
m=integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^1-x-y(x+y),dz,dy,dx,
pois para cada (x,y) em [0,1]times[0,1-x], z varia de 0 a 1-x-y.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^1-x-y(x+y),dz=(x+y)l[zr]0^1-x-y=(x+y)(1-x-y)
Assim
m=integral0^1integral0^1-x(x+y)(1-x-y),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y. Primeiro expandimos
(x+y)(1-x-y)=x - x^2 + y -2xy - y^2
e depois integramos termo a termo de y=0 a y=1-x, chegando a
integral0^1-x(x+y)(1-x-y),dy=(1-x)^2,(1+2x)6
Logo
m=integral0^1(1-x)^2(1+2x)6,dx

Passo 5

Fica
m=16integral0^1l((1-x)^2(1+2x)r),dx
Expandindo (1-x)^2(1+2x)=1-3x^2+2x^3 e integrando de 0 a 1, obtemos
integral0^1(1-3x^2+2x^3),dx=l[x-x^3+tfrac12x^4r]0^1=tfrac12
Portanto
m=16cdottfrac12=112

Resposta

112

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