(a) Encontre a equação da circunferência de centro em ( -1,1 ), contendo o ponto (3,4).
(b) Faça um esboço da circunferência no plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto (-1,1) e que passa pelo ponto (3,4).
  • (b) Fazer um esboço dessa circunferência no plano cartesiano.
Informações dadas:
  • Centro: C = (-1,1).
  • Um ponto da circunferência: P = (3,4).

Passo 2

Recordando a fórmula básica: a equação de uma circunferência de centro C=(h,k) e raio r é
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.
Aqui já sabemos h=-1 e k=1. Faltam r (ou r^2), que obtemos calculando a distância entre o centro C e um ponto P da circunferência.
Explicando a distância entre dois pontos: a distância entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada pela fórmula da distância (Teorema de Pitágoras)
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
No nosso caso r=d(C,P).

Passo 3

Calcular r^2 entre C=(-1,1) e P=(3,4). Usando a fórmula da distância, primeiro calculamos as diferenças de coordenadas:
\Delta x = 3-(-1)=4,\qquad \Delta y = 4-1=3.
Então
r^2 = \Delta x^{2}+\Delta y^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25.
Logo r=\sqrt{25}=5. (Aqui só precisamos de r^2 para a equação; r=5 também é útil para o esboço.)

Passo 4

Substituindo h=-1, k=1 e r^2=25 na forma padrão da circunferência obtemos a equação no formato centro-raio:
(x+1)^2+(y-1)^2=25.

Passo 5

É comum também apresentar a equação expandida (forma geral). Vamos expandir passo a passo:
(x+1)^2+(y-1)^2=25
x^2+2x+1 + y^2-2y+1 = 25
x^2+y^2+2x-2y+2 = 25
x^2+y^2+2x-2y-23 = 0.
As duas formas são equivalentes; escolha a que preferir na prova.

Passo 6

Como esboçar a circunferência (dicas práticas e pontos-chave — faz como se estivesse usando um compasso mental):
  1. Marcar o centro C=(-1,1).
  2. Usar o raio r=5. Os quatro pontos cardeais na circunferência (facilitam o desenho) são: C+(r,0)=(4,1),\qquad C-(r,0)=(-6,1),
C+(0,r)=(-1,6),\qquad C-(0,r)=(-1,-4).
Marque esses quatro pontos; eles ficam exatamente à direita, esquerda, acima e abaixo do centro.
3. Verificar que o ponto dado P=(3,4) está sobre a circunferência: já calculámos e d(C,P)=5, então marque P também.
4. Traçar uma curva suave passando por esses pontos — uma circunferência centrada em C com raio 5. Se quiser maior precisão, calcule interceptos com os eixos: resolvendo
(x+1)^2+(0-1)^2=25 \Rightarrow (x+1)^2=24 \Rightarrow x=-1\pm 2\sqrt{6}\approx -5,899,\; 3,899,
e
(0+1)^2+(y-1)^2=25 \Rightarrow (y-1)^2=24 \Rightarrow y=1\pm 2\sqrt{6}\approx -3,899,\; 5,899.
Esses pontos mostram onde a circunferência cruza os eixos.
5. Agora desenhe os eixos, marque o centro, os pontos cardeais e o ponto P=(3,4) e trace a curva passando suavemente por eles. Pronto: esboço feito.

Resposta

(a) (x+1)^2+(y-1)^2=25
(b) Esboço: centro em (-1,1), raio 5; pontos cardeais (4,1),(-6,1),(-1,6),(-1,-4) e o ponto dado (3,4) pertencem à circunferência.

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