(a) Encontre a equação da circunferência de centro em (
), contendo o ponto
.
(b) Faça um esboço da circunferência no plano cartesiano.
(b) Faça um esboço da circunferência no plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto
e que passa pelo ponto . - (b) Fazer um esboço dessa circunferência no plano cartesiano.
Informações dadas:
- Centro:
. - Um ponto da circunferência:
.
Passo 2
Recordando a fórmula básica: a equação de uma circunferência de centro
e raio
é
Aqui já sabemos
e
. Faltam
(ou
), que obtemos calculando a distância entre o centro
e um ponto
da circunferência.
Explicando a distância entre dois pontos: a distância entre
e
é dada pela fórmula da distância (Teorema de Pitágoras)
No nosso caso
.
Passo 3
Calcular
entre
e
. Usando a fórmula da distância, primeiro calculamos as diferenças de coordenadas:
Então
Logo
. (Aqui só precisamos de
para a equação;
também é útil para o esboço.)
Passo 4
Substituindo
,
e
na forma padrão da circunferência obtemos a equação no formato centro-raio:
Passo 5
É comum também apresentar a equação expandida (forma geral). Vamos expandir passo a passo:
As duas formas são equivalentes; escolha a que preferir na prova.
Passo 6
Como esboçar a circunferência (dicas práticas e pontos-chave — faz como se estivesse usando um compasso mental):
- Marcar o centro
. - Usar o raio
. Os quatro pontos cardeais na circunferência (facilitam o desenho) são:
Marque esses quatro pontos; eles ficam exatamente à direita, esquerda, acima e abaixo do centro.
3. Verificar que o ponto dado está sobre a circunferência: já calculámos e
, então marque
também.
4. Traçar uma curva suave passando por esses pontos — uma circunferência centrada em com raio
. Se quiser maior precisão, calcule interceptos com os eixos: resolvendo
3. Verificar que o ponto dado
4. Traçar uma curva suave passando por esses pontos — uma circunferência centrada em
e
Esses pontos mostram onde a circunferência cruza os eixos.
5. Agora desenhe os eixos, marque o centro, os pontos cardeais e o ponto e trace a curva passando suavemente por eles. Pronto: esboço feito.
5. Agora desenhe os eixos, marque o centro, os pontos cardeais e o ponto
Resposta
(a)
(b) Esboço: centro em , raio
; pontos cardeais
e o ponto dado
pertencem à circunferência.
(b) Esboço: centro em