Ache o coeficiente angular da reta tangente à curva dada por y=\frac{x+1}{x-1}, no ponto de abscisa x_{0}=5.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente angular da reta tangente à curva
y = \frac{x+1}{x-1}
no ponto de abscissa x_{0}=5. Em outras palavras, queremos o valor de y'(5). O conteúdo utilizado será a derivada de uma função racional, aplicando a regra do quociente.

Passo 2

Sejam
u(x) = x+1,\quad v(x) = x-1.
Então u'(x)=1 e v'(x)=1. Pela regra do quociente,
y' = \frac{u'v - u\,v'}{v^2} = \frac{(1)(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=5:
y'(5) = \frac{-2}{(5 - 1)^2} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}.

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa 5 é -\frac{1}{8}.

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