Encontre as derivadas das seguintes funções:
m(x)=\frac{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)(x+1)}{x^{2}+x+1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
m(x)=\frac{\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)(x+1)}{x^{2}+x+1}.
O conteúdo principal envolve simplificação algébrica (multiplicação de polinômios e divisão polinomial) e depois aplicação de regras de derivação (derivada de soma, produto e quociente).

Passo 2

Primeiro expandimos o numerador:
(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)(x+1) = x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1.
Assim
m(x)=\frac{x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1}{x^{2}+x+1}.

Passo 3

Fazemos a divisão polinomial de x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 por x^{2}+x+1. O quociente é x^{3}+x^{2}+1 e o resto é x. Logo
m(x)=x^{3}+x^{2}+1+\frac{x}{x^{2}+x+1}.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo. A parte polinomial x^{3}+x^{2}+1 tem derivada
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x^{2}+1\bigr) =3x^{2}+2x.

Passo 5

Falta derivar \displaystyle \frac{x}{x^{2}+x+1}. Use a regra do quociente: se u=x e v=x^{2}+x+1, então
u'=1,\quad v'=2x+1,
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{u'v - u\,v'}{v^{2}} =\frac{1\cdot(x^{2}+x+1)-x\,(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}} =\frac{x^{2}+x+1-2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}.

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
m'(x)=3x^{2}+2x + \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}.

Resposta

m'(x)=3x^{2}+2x + \frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}.

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