Encontre a equação da reta tangente à curva dada por y=\frac{x^{3}-1}{x} no ponto de abscissa x_{0}=-1.

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = \frac{x^{3}-1}{x}
e pede a equação da reta tangente no ponto de abscissa x_{0}=-1.
Para isso vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular m e depois a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Reescrevemos a função de modo mais fácil de derivar:
y = \frac{x^{3}}{x} - \frac{1}{x} = x^{2} - x^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder para obter a derivada:
\frac{dy}{dx} = 2x + (-1)\,x^{-2} = 2x + x^{-2}.

Passo 4

Avaliamos a derivada em x_{0}=-1:
m = 2(-1) + (-1)^{-2} = -2 + 1 = -1.

Passo 5

Calculamos a ordenada y_{0} correspondente a x_{0}=-1:
y_{0} = \frac{(-1)^{3}-1}{-1} = \frac{-1-1}{-1} = 2.

Passo 6

Usamos a forma ponto-declive
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Substituindo y_{0}=2, m=-1 e x_{0}=-1, vem
y - 2 = -1\,(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 1.

Resposta

y = -x + 1

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