Encontre as derivadas das seguintes funções:
g(x)=\frac{x^{3}-4 x^{2}+4 x}{x^{2}-x+1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
g(x)=\frac{x^{3}-4x^{2}+4x}{x^{2}-x+1}.
O conteúdo principal é a regra do quociente para derivadas de funções da forma \frac{N(x)}{D(x)}.

Passo 2

Identificamos o numerador N(x) e o denominador D(x), e calculamos suas derivadas usando a regra do poder:
N(x)=x^{3}-4x^{2}+4x,
D(x)=x^{2}-x+1.
Derivando cada polinômio:
N'(x)=3x^{2}-8x+4,
D'(x)=2x-1.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente, que diz
g'(x) = \frac{N'(x)\,D(x)\;-\;N(x)\,D'(x)}{\bigl[D(x)\bigr]^{2}}.

Passo 4

Calculamos separadamente os dois produtos no numerador e expandimos:
N'(x)\,D(x) =(3x^{2}-8x+4)(x^{2}-x+1) =3x^{4}-11x^{3}+15x^{2}-12x+4,
N(x)\,D'(x) =(x^{3}-4x^{2}+4x)(2x-1) =2x^{4}-9x^{3}+12x^{2}-4x.

Passo 5

Subtraímos e simplificamos o numerador:
N'(x)D(x)-N(x)D'(x) =\bigl(3x^{4}-11x^{3}+15x^{2}-12x+4\bigr) -\bigl(2x^{4}-9x^{3}+12x^{2}-4x\bigr) =x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-8x+4.

Passo 6

Por fim, escrevemos a derivada de g:
g'(x) = \frac{x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-8x+4}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}.

Resposta

g'(x) = \frac{x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-8x+4}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}.

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