Qual é a velocidade de uma partícula que se desloca de acordo com a função S(t)=\frac{5 t^{2}-1}{t+3} no instante t=2 s, sabendo-se que a unidade de deslocamento é m ?

Passo 1

O enunciado dá a lei do deslocamento de uma partícula em função do tempo
S(t)=\frac{5\,t^{2}-1}{t+3},
com S em metros e t em segundos, e pede a velocidade no instante t=2. Para isso, vamos usar o conceito de velocidade como derivada do deslocamento, aplicando a regra do quociente.

Passo 2

Definimos a velocidade v(t) como
v(t)=S'(t).
Como S(t) é um quociente, usaremos a regra do quociente: se
S(t)=\frac{U(t)}{V(t)},
então
S'(t)=\frac{U'(t)\,V(t)-U(t)\,V'(t)}{[V(t)]^{2}}.

Passo 3

Aqui U(t)=5\,t^{2}-1 e V(t)=t+3. Calculamos as derivadas:
U'(t)=10\,t, \quad V'(t)=1.
Substituindo na regra do quociente,
v(t)=\frac{10\,t\,(t+3)-(5\,t^{2}-1)\cdot1}{(t+3)^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
10\,t\,(t+3)-(5\,t^{2}-1) =10\,t^{2}+30\,t-5\,t^{2}+1 =5\,t^{2}+30\,t+1.
Logo
v(t)=\frac{5\,t^{2}+30\,t+1}{(t+3)^{2}}.

Passo 5

Basta substituir t=2:
v(2) =\frac{5\cdot2^{2}+30\cdot2+1}{(2+3)^{2}} =\frac{5\cdot4+60+1}{5^{2}} =\frac{20+60+1}{25} =\frac{81}{25}\,\mathrm{m/s} \approx3,24\,\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade da partícula no instante t=2\,\mathrm{s} é
v(2)=\frac{81}{25}\,\mathrm{m/s}\approx3,24\,\mathrm{m/s}.

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