Ache o coeficiente angular da secante à parábola y=2 x-x^2, se as abcissas dos pontos de intersecção são iguais a:
x1=1, x2=2;
A que limite tende o coeficiente angular da secante no último caso, se h 0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a parábola y=2x - x^2:
  1. O coeficiente angular da secante que liga os pontos de abscissas x1=1 e x2=2.
  2. O limite desse coeficiente angular quando, num caso geral entre x e x+h, fazemos hto0.
    O conteúdo aqui é o quociente de diferença e a ideia de derivada de um polinômio.

Passo 2

Para x1=1 e x2=2 temos
y(1)=2cdot1-1^2=1, y(2)=2cdot2-2^2=0
Logo o coeficiente da secante é
m=y(2)-y(1)2-1=0-11=-1

Passo 3

Agora consideramos os pontos l(x,y(x)r) e l(x+h,y(x+h)r). Calculamos
y(x+h)=2(x+h)-(x+h)^2 =2x+2h-x^2-2xh-h^2
e assim o coeficiente da secante é
y(x+h)-y(x)h =l(2x+2h-x^2-2xh-h^2r)-(2x-x^2)h =2h-2xh-h^2h =2-2x-h

Passo 4

Tomando o limite quando hto0 no quociente
2-2x-h,
obtemos
limhto0(2-2x-h)=2-2x,
que é a derivada y'(x).

Resposta

-1
2-2x

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