Ache o coeficiente angular da secante à parábola y=2 x-x^2, se as abcissas dos pontos de intersecção são iguais a:
x1=1, x2=0,9;
A que limite tende o coeficiente angular da secante no último caso, se h 0.

Passo 1

O enunciado fala da parábola definida por
y = 2x - x^2
e pede duas coisas:
– o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos de abscissas x1 = 1 e x2 = 0,9;
– para o último caso (isto é, tomando x2 = 1 + h), a que limite tende esse coeficiente quando h to 0.
Aqui o conteúdo é derivada de funções polinomiais via razão de diferenças (coeficiente da secante) e limite desse coeficiente.

Passo 2

Calcular as imagens dos pontos:
y1 = f(1) = 2cdot1 - 1^2 = 2 - 1 = 1,
y2 = f(0,9) = 2cdot0,9 - (0,9)^2 = 1,8 - 0,81 = 0,99

Passo 3

O coeficiente angular da secante entre (1,y1) e (0,9,y2) é
m = y2 - y10,9 - 1 = 0,99 - 1-0,1 = -0,01-0,1 = 0,1

Passo 4

Para estudar o limite, escrevemos x2 = 1 + h. Logo o coeficiente da secante torna-se
m(h) = f(1 + h) - f(1)h

Passo 5

Calculando f(1 + h):
f(1+h) = 2(1+h) - (1+h)^2 = 2 + 2h - (1 + 2h + h^2) = 2 + 2h - 1 - 2h - h^2 = 1 - h^2
Assim,
m(h) = (1 - h^2) - 1h = -h^2h = -h

Passo 6

Tomando o limite quando h to 0:
limhto0 m(h) = limhto0 (-h) = 0

Resposta

O coeficiente da secante entre x1=1 e x2=0,9 é 0,1.
Ao fazer x2=1+h e hto0, o coeficiente tende a 0.

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