1- Ache os coeficientes angulares da tangente e da normal no ponto da curva correspondente a t=1
a- x=t^2+1, y=t^2-1 ; -2 <= t <= 2 (exercício 13.2-1 livro: swokowski)
b- x=4 t^2-5, y=2 t+3 ; t em R (exercício 13.2-3 livro: swokowski)
c- x=e^t, y=e^-2 t ; t em R (exercício 13.2-5 livro: swokowski)
d- x=2 sen t, y=3 cos t ; 0 <= t <= 2 pi (exercício 13.2-7 livro: swokowski)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os coeficientes angulares da reta tangente e da reta normal à curva parametrizada no ponto correspondente a t=1. As curvas são dadas em cada item, e vamos usar derivadas paramétricas para achar esses coeficientes.

Passo 2

Para uma curva parametrizada por x(t) e y(t) calculamos as derivadas dxdt e dydt. O coeficiente angular da tangente é mtan=dy/dtdx/dt (desde que dx/dtneq0). O coeficiente angular da normal é mnorm=-1mtan

Passo 3

Item (a): x=t^2+1 e y=t^2-1.
Então tfracdxdt=2t e tfracdydt=2t.
Logo em t=1:
mtan(1)=2cdot12cdot1=1,
mnorm(1)=-1

Passo 4

Item (b): x=4t^2-5, y=2t+3.
Então tfracdxdt=8t e tfracdydt=2.
Logo em t=1:
mtan(1)=28cdot1=14,
mnorm(1)=-4

Passo 5

Item ©: x=e^t, y=e^-2t.
Então tfracdxdt=e^t e tfracdydt=-2e^-2t.
Logo em t=1:
mtan(1)=-2e^-2e^1=-2e^-3,
mnorm(1)=12e^3

Passo 6

Item (d): x=2sin t, y=3cos t.
Então tfracdxdt=2cos t e tfracdydt=-3sin t.
Logo em t=1:
mtan(1)=-3sin12cos1=-32tan1,
mnorm(1)=23tan1

Resposta

a) mtan=1, mnorm=-1;
b) mtan=tfrac14, mnorm=-4;
c) mtan=-2e^-3, mnorm=tfrac12e^3;
d) mtan=-tfrac32tan1, mnorm=tfrac23tan1.

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