Estudar a continuidade em R das seguintes funções :
f4(x)=x^2 cos 1x se x neq 0, e f4(0)=0

Passo 1

Temos a função f4colonRtoR dada por
f4(x)=x^2costfrac1x,&xneq0,0,&x=0
O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes. Vamos usar: (i) propriedades de funções contínuas (polinômios, cosseno, composição e produto) e (ii) o Teorema do Confronto para limite em zero.

Passo 2

Para xneq0, note que:
  • A função xmapsto x^2 é polinomial, logo contínua em todo R.
  • A função xmapsto1/x é contínua em Rsetminus0 e cos é contínua em R. Então xmapstocos(1/x) é contínua para xneq0.
  • Produto de funções contínuas é contínuo. Logo x^2cos(1/x) é contínua em cada xneq0.

Passo 3

Para xto0, calculamos o limite:
Pela desigualdade -1<=costfrac1x<=1 vem
-,x^2<= x^2costfrac1x<= x^2
Como limxto0-x^2=0 e limxto0x^2=0, pelo Teorema do Confronto segue
limxto0x^2costfrac1x=0
Esse valor coincide com f4(0)=0, portanto f4 é contínua em 0.

Resposta

A função é contínua em todo R.

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