Nos exercícios 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
r^2=16 cos 2 theta

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares r^2=16cos2theta e quer a área que ela encerra. Esse conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares; vamos usar a fórmula específica para isso.

Passo 2

A fórmula pra área em coordenadas polares é
A=tfrac12integral r^2,dtheta
Como a gente só tem ponto da curva quando r^2>=0, precisamos ver onde cos2theta>=0. Isso rola em
-tfracpi4<=theta<=tfracpi4
e
tfrac3pi4<=theta<=tfrac5pi4
que são as duas laçadas da lemniscata.

Passo 3

Vamos calcular a área de uma laçada substituindo r^2=16cos2theta e integrando de -tfracpi4 a tfracpi4:
Alaçada=tfrac12integral-pi/4^pi/416cos2theta,dtheta=8integral-pi/4^pi/4cos2theta,dthetaç
Aí a integral de cos2theta é tfrac12sin2theta, então a gente faz:
Alaçada=8l[tfrac12sin2thetar]-pi/4^pi/4=4l(sintfracpi2-sin(-tfracpi2)r)=8ç

Passo 4

Como a curva tem duas laçadas iguais, a área total é 2times8=16.

Resposta

16

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