determine o erro da solução na norma L^2(Omega) por meio da quadratura de Gauss-Legendre. A solução exata da distribuição de temperatura ao longo da barra é h.
21. A solução de um problema de deformação axial de uma barra por meio de uma malha de elementos quadráticos de comprimento característico |e|H^1(Omega)=4,1 cdot 10^1 apresentou o seguinte erro na norma da energia:
1 / 5
Qual seria o erro estimado nessa mesma norma quando o comprimento caracterísitico for reduzido a ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para estimar como varia o erro na norma de energia (norma de Sobolev H^1) quando reduzimos o tamanho de elemento de h para h/5, sabendo que para a malha inicial o erro era |e|H^1(Omega) = 4,1times10^1. Vamos usar a propriedade de convergência de elementos finitos quadráticos.

Passo 2

Em elementos finitos de grau 2 (quadráticos), a estimativa de convergência na norma H^1 é de ordem h^p com p=2. Ou seja, existe constante C tal que
|e|H^1(Omega) approx C,h^2

Passo 3

Quando reduzimos o comprimento característico para h/5, o novo erro satisfaz
|enovo|H^1(Omega) = C(h5)^2 = C,h^2(15)^2 = |e|H^1(Omega)times125

Passo 4

Substituindo o erro inicial |e|H^1(Omega) = 4,1times10^1 = 41, obtemos
|enovo|H^1(Omega) = 41times125 = 1,64

Resposta

|e|H^1(Omega)approx1,64

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