Ache os coeficientes polinomiais p(x) e q(x) das equações diferenciais dadas para cada ponto singular das equações: (x^2 - 1) y'' = 5(x + 1) y' + (x^2 - x) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por:
O objetivo aqui é encontrar os coeficientes polinomiais e da equação diferencial nas proximidades de cada ponto singular. Para isso, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem:
Vamos seguir passo a passo para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma que tudo fique igual a zero. Parece que houve um pequeno erro de digitação na equação original, mas vamos considerar que a equação correta é:
Agora, queremos isolar para conseguir a forma padrão.

Passo 3

Vamos dividir toda a equação por para isolar :
Agora, trazendo todos os termos para o lado esquerdo para obter a forma padrão:

Passo 4

Comparando com a forma padrão , podemos identificar os coeficientes e :

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Os pontos singulares são os valores de onde os coeficientes e não são analíticos, geralmente onde o denominador se iguala a zero.
Olhemos o denominador :
Portanto, os pontos singulares são e .

Passo 6

Para cada ponto singular, vamos reescrever os coeficientes e :
Para :
Para :

Resposta

Os coeficientes polinomiais e para cada ponto singular são:
  • Para :
  • Para :

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