Ache os coeficientes polinomiais
e
das equações diferenciais dadas para cada ponto singular das equações:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por:
O objetivo aqui é encontrar os coeficientes polinomiais
e
da equação diferencial nas proximidades de cada ponto singular. Para isso, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem:
Vamos seguir passo a passo para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma que tudo fique igual a zero. Parece que houve um pequeno erro de digitação na equação original, mas vamos considerar que a equação correta é:
Agora, queremos isolar
para conseguir a forma padrão.
Passo 3
Vamos dividir toda a equação por
para isolar
:
Agora, trazendo todos os termos para o lado esquerdo para obter a forma padrão:
Passo 4
Comparando com a forma padrão
, podemos identificar os coeficientes
e
:
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Os pontos singulares são os valores de
onde os coeficientes
e
não são analíticos, geralmente onde o denominador se iguala a zero.
Olhemos o denominador
:
Portanto, os pontos singulares são
e
.
Passo 6
Para cada ponto singular, vamos reescrever os coeficientes
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os coeficientes polinomiais
e
para cada ponto singular são:
-
Para
: -
Para
: