Esboçar as curvas de nível de f, para os seguintes valores de k.
f) f(x, y) = (x - y)^2, k = 0, 1, 2, 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboço de curvas de nível! A questão pede para a gente desenhar as curvas onde a função assume os valores . Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar suas equações para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função tem um valor constante, ou seja, . Para cada valor de , vamos encontrar a equação que representa essa curva.

Passo 3

Vamos começar substituindo por :
Agora, para resolver essa equação, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso significa que para cada valor de , teremos duas equações lineares:

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada valor de :
  • Para :
Neste caso, as duas equações são iguais, então a curva de nível é apenas a reta .
  • Para :
Aqui, as curvas de nível são as retas e .
  • Para :
As curvas de nível são as retas e .
  • Para :
As curvas de nível são as retas e .

Resposta

As curvas de nível de para são:
  • Para :
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e
Essas são as retas que representam as curvas de nível solicitadas.

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