Usando o método de Frobenius, resolva as seguintes equações diferenciais: (x^2 + 1) y'' + x y' + 2 x y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e .
Vamos usar o método de Frobenius para resolver essa equação. Esse método é útil quando a equação tem pontos singulares, e basicamente tenta encontrar uma solução em série de potências em torno de um ponto, que nesse caso é . Para isso, precisamos entender um pouco sobre séries de potências e como elas podem ser usadas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, é o expoente que vamos determinar, e são os coeficientes da série que precisamos achar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo multiplicando os polinômios.

Passo 5

Multiplicando pelas séries:
Multiplicando e pelas séries:

Passo 6

Agora, vamos reescrever todas as séries com o mesmo expoente de . Para isso, ajustamos os índices das somas:
Observamos que a segunda e a última somas têm o índice deslocado, então ajustamos para que todas as somas comecem de :

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , cada coeficiente de deve ser zero. Isso nos dá a seguinte relação de recorrência:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 8

Primeiro, precisamos encontrar o valor de , que vem da chamada equação indicial. Essa equação é obtida considerando os termos de menor potência de na equação diferencial.
Para , temos:
Como não existe, assumimos que . Portanto:
Para encontrar , observamos os termos menores:
Isso nos dá ou . Vamos escolher para simplificar.

Passo 9

Com , aplicamos as condições iniciais e .
Primeiro, .
Agora, vamos aplicar a condição :
Para , somente o primeiro termo da soma contribui:
Portanto, .

Passo 10

Vamos agora encontrar os coeficientes usando a relação de recorrência:
Com :
Resolvendo para :
Vamos calcular alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes, se necessário.

Passo 11

Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução aproximada até :
Substituindo os valores:
Podemos notar que a série está começando a se desenvolver com esses termos.

Resposta

A solução da equação diferencial usando o método de Frobenius é:

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