Usando o método de Frobenius, resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
.
Vamos usar o método de Frobenius para resolver essa equação. Esse método é útil quando a equação tem pontos singulares, e basicamente tenta encontrar uma solução em série de potências em torno de um ponto, que nesse caso é
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre séries de potências e como elas podem ser usadas para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
é o expoente que vamos determinar, e
são os coeficientes da série que precisamos achar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo multiplicando os polinômios.
Passo 5
Multiplicando
pelas séries:
Multiplicando
e
pelas séries:
Passo 6
Agora, vamos reescrever todas as séries com o mesmo expoente de
. Para isso, ajustamos os índices das somas:
Observamos que a segunda e a última somas têm o índice deslocado, então ajustamos para que todas as somas comecem de
:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero. Isso nos dá a seguinte relação de recorrência:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 8
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
, que vem da chamada equação indicial. Essa equação é obtida considerando os termos de menor potência de
na equação diferencial.
Para
, temos:
Como
não existe, assumimos que
. Portanto:
Para encontrar
, observamos os termos menores:
Isso nos dá
ou
. Vamos escolher
para simplificar.
Passo 9
Com
, aplicamos as condições iniciais
e
.
Primeiro,
.
Agora, vamos aplicar a condição
:
Para
, somente o primeiro termo da soma contribui:
Portanto,
.
Passo 10
Vamos agora encontrar os coeficientes
usando a relação de recorrência:
Com
:
Resolvendo para
:
Vamos calcular alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes, se necessário.
Passo 11
Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução aproximada até
:
Substituindo os valores:
Podemos notar que a série está começando a se desenvolver com esses termos.
Resposta
A solução da equação diferencial usando o método de Frobenius é: