Utilizando o método de Frobenius, achar as soluções ao redor do ponto singular regular x 0 = 0 das seguintes EDOs: 3xy'' + 2y' + 2y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de Frobenius ao redor do ponto singular regular . Isso significa que vamos encontrar soluções da forma de séries de potências que funcionam perto de . Para isso, vamos precisar conhecer o método de Frobenius e como aplicar séries de potências em EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma padrão. Dividimos toda a equação por para simplificar:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes e na forma padrão da EDO de segunda ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, aplicamos o método de Frobenius, assumindo que a solução tem a forma de uma série de potências:
Onde é o expoente que precisamos determinar e são os coeficientes da série.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na EDO:
Simplificamos cada termo:

Passo 6

Fatoramos nos dois primeiros termos:
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Determinado o termo de menor potência (quando ):
Fatorando :
Como , temos a equação característica:

Passo 8

Agora, para , igualamos os coeficientes a zero:
Fatorando :
Simplificando:

Passo 9

Substituindo :
Calculamos:
Então:
Portanto:
Isolando :

Passo 10

Com essa relação de recorrência, podemos encontrar os coeficientes em termos de . Começando com , assumimos como uma constante (normalmente para simplificar).
Por exemplo:
E assim por diante.

Resposta

As soluções da EDO ao redor de usando o método de Frobenius são dadas por:
Onde é uma constante arbitrária. Esta série representa a solução em série de potência ao redor do ponto singular regular .

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