Utilizando o método de Frobenius, achar as soluções ao redor do ponto singular regular
das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
usando o método de Frobenius ao redor do ponto singular regular
. Isso significa que vamos encontrar soluções da forma de séries de potências que funcionam perto de
. Para isso, vamos precisar conhecer o método de Frobenius e como aplicar séries de potências em EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma padrão. Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes
e
na forma padrão da EDO de segunda ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, aplicamos o método de Frobenius, assumindo que a solução tem a forma de uma série de potências:
Onde
é o expoente que precisamos determinar e
são os coeficientes da série.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na EDO:
Simplificamos cada termo:
Passo 6
Fatoramos
nos dois primeiros termos:
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Determinado o termo de menor potência (quando
):
Fatorando
:
Como
, temos a equação característica:
Passo 8
Agora, para
, igualamos os coeficientes a zero:
Fatorando
:
Simplificando:
Passo 9
Substituindo
:
Calculamos:
Então:
Portanto:
Isolando
:
Passo 10
Com essa relação de recorrência, podemos encontrar os coeficientes
em termos de
. Começando com
, assumimos
como uma constante (normalmente
para simplificar).
Por exemplo:
E assim por diante.
Resposta
As soluções da EDO
ao redor de
usando o método de Frobenius são dadas por:
Onde
é uma constante arbitrária. Esta série representa a solução em série de potência ao redor do ponto singular regular
.