Seja
(d) O resultado do item © contradiz o teorema de Schwarz?
Passo 1
Então, galera, vamos resolver essa questão sobre cálculo multivariável! Temos uma função
definida de forma diferente dependendo se
é igual a
ou não. O que queremos saber aqui é se o resultado que obtivemos no item © vai contra o Teorema de Schwarz. Para isso, precisamos entender o que o Teorema de Schwarz diz sobre derivadas parciais e suas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Schwarz. Esse teorema, também conhecido como Teorema de Clairaut, afirma que se as derivadas parciais mistas de uma função são contínuas em um ponto, então a ordem em que derivamos não altera o resultado. Em outras palavras,
no ponto em questão.
Passo 3
No item ©, provavelmente analisamos as derivadas parciais de
no ponto
e vimos que elas existem, mas pode ser que elas não sejam contínuas nesse ponto. Se as derivadas parciais mistas não forem iguais ou não forem contínuas, o Teorema de Schwarz não se aplica, e não há contradição.
Passo 4
Então, se no item © encontramos situações onde as derivadas parciais mistas são iguais ou diferentes sem a garantia de continuidade, precisamos verificar se isso viola o Teorema de Schwarz. Mas como o Teorema de Schwarz só garante a igualdade das derivadas se elas forem contínuas, se não temos essa continuidade, não há contradição.
Resposta
Não, o resultado do item © não contradiz o Teorema de Schwarz, pois as condições de continuidade necessárias para o teorema não são plenamente atendidas.