Seja
f(x, y)=ccc x^3 y-x y^3x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
(d) O resultado do item © contradiz o teorema de Schwarz?

Passo 1

Então, galera, vamos resolver essa questão sobre cálculo multivariável! Temos uma função definida de forma diferente dependendo se é igual a ou não. O que queremos saber aqui é se o resultado que obtivemos no item © vai contra o Teorema de Schwarz. Para isso, precisamos entender o que o Teorema de Schwarz diz sobre derivadas parciais e suas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Schwarz. Esse teorema, também conhecido como Teorema de Clairaut, afirma que se as derivadas parciais mistas de uma função são contínuas em um ponto, então a ordem em que derivamos não altera o resultado. Em outras palavras, no ponto em questão.

Passo 3

No item ©, provavelmente analisamos as derivadas parciais de no ponto e vimos que elas existem, mas pode ser que elas não sejam contínuas nesse ponto. Se as derivadas parciais mistas não forem iguais ou não forem contínuas, o Teorema de Schwarz não se aplica, e não há contradição.

Passo 4

Então, se no item © encontramos situações onde as derivadas parciais mistas são iguais ou diferentes sem a garantia de continuidade, precisamos verificar se isso viola o Teorema de Schwarz. Mas como o Teorema de Schwarz só garante a igualdade das derivadas se elas forem contínuas, se não temos essa continuidade, não há contradição.

Resposta

Não, o resultado do item © não contradiz o Teorema de Schwarz, pois as condições de continuidade necessárias para o teorema não são plenamente atendidas.

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