Ache os coeficientes polinomiais
e
das equações diferenciais dadas para cada ponto singular das equações:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é encontrar os coeficientes polinomiais
e
dessa equação diferencial para cada ponto singular. Para isso, vamos precisar transformar a equação para a forma padrão das equações diferenciais de segunda ordem e identificar os pontos singulares.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por
(assumindo que
):
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes
e
da forma padrão:
Passo 4
O próximo passo é identificar os pontos singulares da equação. Pontos singulares são aqueles valores de
onde os coeficientes
ou
não são analíticos (ou seja, têm descontinuidades).
Observando
, vemos que há uma descontinuidade em
. Portanto,
é um ponto singular.
Já
é um polinômio e é analítico para todo
, então não há outros pontos singulares além de
.
Passo 5
Como só temos um ponto singular em
, não há mais pontos a considerar. Portanto, os coeficientes polinomiais para o ponto singular
são:
Resposta
Os coeficientes polinomiais para o ponto singular
são:
e