Ache os coeficientes polinomiais p(x) e q(x) das equações diferenciais dadas para cada ponto singular das equações: x y'' + (x + 3) y' + 7 x^2 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é encontrar os coeficientes polinomiais p(x) e q(x) dessa equação diferencial para cada ponto singular. Para isso, vamos precisar transformar a equação para a forma padrão das equações diferenciais de segunda ordem e identificar os pontos singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por x (assumindo que x != 0):
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes e da forma padrão:

Passo 4

O próximo passo é identificar os pontos singulares da equação. Pontos singulares são aqueles valores de x onde os coeficientes ou não são analíticos (ou seja, têm descontinuidades).
Observando , vemos que há uma descontinuidade em x = 0. Portanto, x = 0 é um ponto singular.
é um polinômio e é analítico para todo x, então não há outros pontos singulares além de x = 0.

Passo 5

Como só temos um ponto singular em x = 0, não há mais pontos a considerar. Portanto, os coeficientes polinomiais para o ponto singular x = 0 são:

Resposta

Os coeficientes polinomiais para o ponto singular x = 0 são:
e

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