Mostre que os seguintes limites não existem.
e) lim (x, y) (1,0) (x-1)^2 y(x-1)^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite não existe. Isso envolve entender limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Seja u^2 yu^4 + y^2 , então quando se aproxima de , se aproxima de . Substituindo, a função fica:
Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a .

Passo 3

Caminho 1: u^2 cdot 0u^4 + 0^2 = 0u^4 = 0
Se , substituindo na função:
Portanto, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 4

Caminho 2: u^2 cdot u^2u^4 + (u^2)^2 = u^4u^4 + u^4 = u^42u^4 = 12
Agora, vamos considerar . Substituindo na função:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 5

Comparando os Resultados
Observamos que ao escolher diferentes caminhos para se aproximar de , obtemos resultados diferentes para o limite:
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

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