Mostre que os seguintes limites não existem.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite
não existe. Isso envolve entender limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Seja
, então quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. Substituindo, a função fica:
Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam
a
.
Passo 3
Caminho 1:
Se
, substituindo na função:
Portanto, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Passo 4
Caminho 2:
Agora, vamos considerar
. Substituindo na função:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Passo 5
Comparando os Resultados
Observamos que ao escolher diferentes caminhos para
se aproximar de
, obtemos resultados diferentes para o limite:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de
por caminhos distintos.