Determine os pontos sigulares das equações diferenciais dadas. Classifique cada ponto como regular ou inregular: x(x^2+1) y'' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos singulares dessa equação diferencial e depois classificar cada ponto como regular ou irregular. A equação que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em equações diferenciais e como classificá-los. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão, que é:
Isso facilita a identificação dos coeficientes e . Para fazer isso, dividimos toda a equação original por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos identificar onde os coeficientes e não são analíticos, ou seja, onde eles não são definidos ou têm descontinuidades. Olhando para , vemos que ele não é definido quando o denominador é zero:
Como nunca é zero para números reais, o único ponto singular é .

Passo 4

Agora que identificamos o ponto singular , vamos classificá-lo como regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade:
  • Um ponto singular é regular se e são analíticos em .
  • Caso contrário, o ponto é irregular.
No nosso caso, , então vamos calcular:
í
A expressão é analítica em .

Passo 5

Como ambas as expressões e são analíticas em , concluímos que o ponto singular é um ponto regular.

Resposta

O ponto é o único ponto singular da equação diferencial dada e ele é regular.

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