Determine os pontos sigulares das equações diferenciais dadas. Classifique cada ponto como regular ou inregular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos singulares dessa equação diferencial e depois classificar cada ponto como regular ou irregular. A equação que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em equações diferenciais e como classificá-los. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão, que é:
Isso facilita a identificação dos coeficientes
e
. Para fazer isso, dividimos toda a equação original por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar onde os coeficientes
e
não são analíticos, ou seja, onde eles não são definidos ou têm descontinuidades. Olhando para
, vemos que ele não é definido quando o denominador é zero:
Como
nunca é zero para números reais, o único ponto singular é
.
Passo 4
Agora que identificamos o ponto singular
, vamos classificá-lo como regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade:
- Um ponto singular
é regular se e são analíticos em . - Caso contrário, o ponto é irregular.
No nosso caso,
, então vamos calcular:
A expressão
é analítica em
.
Passo 5
Como ambas as expressões
e
são analíticas em
, concluímos que o ponto singular
é um ponto regular.
Resposta
O ponto
é o único ponto singular da equação diferencial dada e ele é regular.