Ache as componentes cilíndricas circulares da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento,
\left\{\begin{array}{c} v_{\rho}=\dot{\rho} \\\ v_{\varphi}=\rho \dot{\varphi} \\\ v_{z}=\dot{z} \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{c} a_{\rho}=\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2} \\\ a_{\varphi}=\rho \ddot{\varphi}+2 \dot{\rho} \dot{\varphi} \\\ a_{z}=\ddot{z} \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede para achar as componentes cilíndricas (componentes escalares nas direções \hat{e}_{\rho}, \hat{e}_{\varphi} e \hat{e}_{z}) da velocidade e da aceleração de uma partícula cuja posição é dada por coordenadas cilíndricas que dependem do tempo: \rho=\rho(t), \varphi=\varphi(t) e z=z(t).
Informações relevantes fornecidas / que serão usadas:
  • As coordenadas temporais são \rho(t), \varphi(t) e z(t) (funções do tempo).
  • Os versores (vetores unitários) da base cilíndrica são \hat{e}_{\rho}, \hat{e}_{\varphi} e \hat{e}_{z}; \hat{e}_{\rho} e \hat{e}_{\varphi} dependem de \varphi (ou seja, variam no tempo se \varphi(t) variar), enquanto \hat{e}_{z} é fixo.
  • O objetivo é obter expressões escalares para v_{\rho}, v_{\varphi}, v_{z} e para a_{\rho}, a_{\varphi}, a_{z}.

Passo 2

Definir explicitamente os vetores unitários cilíndricos em termos de coordenadas cartesianas (isso permite calcular suas derivadas temporais de maneira clara). Em cartesianas (x,y,z), os versores cilíndricos são:
\hat{e}_{\rho} = \cos\varphi\,\hat{i} + \sin\varphi\,\hat{j}, \qquad \hat{e}_{\varphi} = -\sin\varphi\,\hat{i} + \cos\varphi\,\hat{j}, \qquad \hat{e}_{z} = \hat{k}.
Aqui \hat{i},\hat{j},\hat{k} são os versores cartesianas fixos. Note que \hat{e}_{\rho} e \hat{e}_{\varphi} dependem de \varphi, então ao diferenciar em relação ao tempo é preciso aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Calcular as derivadas temporais dos versores \hat{e}_{\rho} e \hat{e}_{\varphi} usando a dependência em \varphi(t). Diferenciando \hat{e}_{\rho}(\varphi(t)):
\frac{d}{dt}\hat{e}_{\rho} = \frac{d\varphi}{dt}\,\frac{d}{d\varphi}\hat{e}_{\rho} = \dot{\varphi}\,(-\sin\varphi\,\hat{i} + \cos\varphi\,\hat{j}) = \dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}.
Diferenciando \hat{e}_{\varphi}(\varphi(t)):
\frac{d}{dt}\hat{e}_{\varphi} = \dot{\varphi}\,\frac{d}{d\varphi}\hat{e}_{\varphi} = \dot{\varphi}\,(-\cos\varphi\,\hat{i} - \sin\varphi\,\hat{j}) = -\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\rho}.
E \hat{e}_{z} é constante, então
\frac{d}{dt}\hat{e}_{z}=0.
Essas fórmulas são fundamentais: \dot{\hat{e}}_{\rho}=\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi} e \dot{\hat{e}}_{\varphi}=-\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\rho}.

Passo 4

Escrever o vetor posição em coordenadas cilíndricas e diferenciá-lo para obter a velocidade. O vetor posição é
\vec{r} = \rho(t)\,\hat{e}_{\rho} + z(t)\,\hat{e}_{z}.
(Aqui usei que a coordenada x e y estão incorporadas em \rho\hat{e}_\rho.) Aplicando a derivada temporal e usando produto e as fórmulas de derivada dos versores:
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho} + \rho\,\frac{d}{dt}\hat{e}_{\rho} + \dot{z}\,\hat{e}_{z}.
Substituindo \frac{d}{dt}\hat{e}_{\rho}=\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}:
\vec{v} = \dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho} + \rho\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi} + \dot{z}\,\hat{e}_{z}.

Passo 5

Identificar as componentes escalares da velocidade (projeções nos versores da base cilíndrica). A decomposição anterior dá diretamente:
v_{\rho} = \dot{\rho}, \qquad v_{\varphi} = \rho\,\dot{\varphi}, \qquad v_{z} = \dot{z}.
Comentário didático rápido: v_{\rho} é a velocidade radial (taxa de variação do raio), v_{\varphi} é a velocidade tangencial (raio vezes velocidade angular) e v_{z} é a velocidade na direção axial.

Passo 6

Calcular a aceleração diferenciando a velocidade vetorial. Partimos de
\vec{v} = \dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho} + \rho\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi} + \dot{z}\,\hat{e}_{z}.
Aplicando a derivada temporal termo a termo, usando produto e as derivadas dos versores:
  • Derivada do primeiro termo: \frac{d}{dt}(\dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}) = \ddot{\rho}\,\hat{e}_{\rho} + \dot{\rho}\,\dot{\hat{e}}_{\rho} = \ddot{\rho}\,\hat{e}_{\rho} + \dot{\rho}\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}.
  • Derivada do segundo termo: \frac{d}{dt}(\rho\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}) = (\dot{\rho}\,\dot{\varphi} + \rho\,\ddot{\varphi})\,\hat{e}_{\varphi} + \rho\,\dot{\varphi}\,\dot{\hat{e}}_{\varphi}. Substituindo \dot{\hat{e}}_{\varphi}=-\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\rho}, obtemos (\dot{\rho}\,\dot{\varphi} + \rho\,\ddot{\varphi})\,\hat{e}_{\varphi} - \rho\,\dot{\varphi}^{2}\,\hat{e}_{\rho}.
  • Derivada do terceiro termo: \frac{d}{dt}(\dot{z}\,\hat{e}_{z}) = \ddot{z}\,\hat{e}_{z} (pois \hat{e}_{z} é constante).
Somando tudo:
\vec{a} = \left(\ddot{\rho} - \rho\,\dot{\varphi}^{2}\right)\hat{e}_{\rho} + \left(\rho\,\ddot{\varphi} + 2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}\right)\hat{e}_{\varphi} + \ddot{z}\,\hat{e}_{z}.
Para ver de onde vem o termo 2\dot{\rho}\dot{\varphi}: um \dot{\rho}\dot{\varphi} veio da derivada do primeiro termo (quando \dot{\rho} multiplica \dot{\hat e}_\rho) e outro \dot{\rho}\dot{\varphi} veio da derivada do segundo termo (produto \dot{\rho}\,\dot{\varphi} na soma).

Passo 7

Identificar as componentes escalares da aceleração (projeções nos versores cilíndricos) a partir da expressão final:
a_{\rho} = \ddot{\rho} - \rho\,\dot{\varphi}^{2}, \qquad a_{\varphi} = \rho\,\ddot{\varphi} + 2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}, \qquad a_{z} = \ddot{z}.
Interpretações rápidas e úteis para prova:
  • Em movimento circular com raio constante \rho=R (ou seja \dot{\rho}=0,\\ \ddot{\rho}=0), fica a_{\rho}=-R\dot{\varphi}^{2} (aceleração centrípeta apontando para o centro) e a_{\varphi}=R\ddot{\varphi} (componente tangencial ligada à variação da velocidade angular).
  • Se não há rotação ( \dot{\varphi}=0), os termos com \dot{\varphi} desaparecem e as expressões reduzem-se às derivadas usuais nas direções \rho e z.

Resposta

\begin{cases} v_{\rho}=\dot{\rho}\\[4pt] v_{\varphi}=\rho\,\dot{\varphi}\\[4pt] v_{z}=\dot{z} \end{cases} \qquad \begin{cases} a_{\rho}=\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^{2}\\[4pt] a_{\varphi}=\rho\,\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}\\[4pt] a_{z}=\ddot{z} \end{cases}

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