O enunciado pede para achar as componentes cilíndricas (componentes escalares nas direções \hat{e}_{\rho}, \hat{e}_{\varphi} e \hat{e}_{z}) da velocidade e da aceleração de uma partícula cuja posição é dada por coordenadas cilíndricas que dependem do tempo: \rho=\rho(t), \varphi=\varphi(t) e z=z(t).
Informações relevantes fornecidas / que serão usadas:
As coordenadas temporais são \rho(t), \varphi(t) e z(t) (funções do tempo).
Os versores (vetores unitários) da base cilíndrica são \hat{e}_{\rho}, \hat{e}_{\varphi} e \hat{e}_{z}; \hat{e}_{\rho} e \hat{e}_{\varphi} dependem de \varphi (ou seja, variam no tempo se \varphi(t) variar), enquanto \hat{e}_{z} é fixo.
O objetivo é obter expressões escalares para v_{\rho}, v_{\varphi}, v_{z} e para a_{\rho}, a_{\varphi}, a_{z}.
Passo 2
Definir explicitamente os vetores unitários cilíndricos em termos de coordenadas cartesianas (isso permite calcular suas derivadas temporais de maneira clara). Em cartesianas (x,y,z), os versores cilíndricos são:
Aqui \hat{i},\hat{j},\hat{k} são os versores cartesianas fixos. Note que \hat{e}_{\rho} e \hat{e}_{\varphi} dependem de \varphi, então ao diferenciar em relação ao tempo é preciso aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Calcular as derivadas temporais dos versores \hat{e}_{\rho} e \hat{e}_{\varphi} usando a dependência em \varphi(t). Diferenciando \hat{e}_{\rho}(\varphi(t)):
(Aqui usei que a coordenada x e y estão incorporadas em \rho\hat{e}_\rho.) Aplicando a derivada temporal e usando produto e as fórmulas de derivada dos versores:
Comentário didático rápido: v_{\rho} é a velocidade radial (taxa de variação do raio), v_{\varphi} é a velocidade tangencial (raio vezes velocidade angular) e v_{z} é a velocidade na direção axial.
Passo 6
Calcular a aceleração diferenciando a velocidade vetorial. Partimos de
Para ver de onde vem o termo 2\dot{\rho}\dot{\varphi}: um \dot{\rho}\dot{\varphi} veio da derivada do primeiro termo (quando \dot{\rho} multiplica \dot{\hat e}_\rho) e outro \dot{\rho}\dot{\varphi} veio da derivada do segundo termo (produto \dot{\rho}\,\dot{\varphi} na soma).
Passo 7
Identificar as componentes escalares da aceleração (projeções nos versores cilíndricos) a partir da expressão final:
Em movimento circular com raio constante \rho=R (ou seja \dot{\rho}=0,\\ \ddot{\rho}=0), fica a_{\rho}=-R\dot{\varphi}^{2} (aceleração centrípeta apontando para o centro) e a_{\varphi}=R\ddot{\varphi} (componente tangencial ligada à variação da velocidade angular).
Se não há rotação (\dot{\varphi}=0), os termos com \dot{\varphi} desaparecem e as expressões reduzem-se às derivadas usuais nas direções \rho e z.