Um corpo rígido está em rotação ao redor de um eixo fixo com uma velocidade angular constante
. Admita que
está ao longo do eixo
. Expresse o vetor posição
em coordenadas cilíndricas circulares e, usando coordenadas cilíndricas circulares, calcule
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (tudo que vamos usar):
- Pede-se expressar o vetor posição
em coordenadas cilíndricas circulares e, usando coordenadas cilíndricas, calcular e . - Informação dada: o corpo gira com velocidade angular constante
ao longo do eixo . Ou seja, podemos escrever com constante. - Vamos usar coordenadas cilíndricas
com os versores unitários .
Passo 2
Definição e expressão do vetor posição em cilíndricas (aula rápida e concreta).
- Em coordenadas cilíndricas, um ponto tem coordenadas
, onde é a distância radial ao eixo , é o ângulo azimutal e é a altura. - Os versores dependem do ângulo
e são dados por:
- O vetor posição em cilíndricas é simplesmente a combinação radial e axial:
Explicação: isso vem da identificação
, então
.
Passo 3
Cálculo de
em cilíndricas (método direto com versores).
- Escrevemos
e . - Usamos a identidade dos produtos vetoriais entre os versores cilíndricos:
e . - Portanto
- Interpretação prática: o campo de velocidades de uma rotação sólida tem componente azimutal
e . Ou seja, o módulo da velocidade cresce linearmente com a distância ao eixo.
Passo 4
Checagem alternativa em cartesiano (para fixar a intuição).
- Em coordenadas cartesianas
com . - Com
tem-se
- Convertendo esse resultado para versores cilíndricos usando
e , obtemos
o mesmo resultado do passo anterior. Isso confirma que não houve erro.
Passo 5
Fórmula do rotacional (curl) em coordenadas cilíndricas e explicação do que cada termo significa.
- Para um campo vetorial genérico
, o rotacional em cilíndricas tem componentes:
- Significado rápido: cada componente do rotacional combina derivadas espaciais dos componentes do campo, adaptadas à geometria cilíndrica (o fator
e o termo aparecem por causa da dependência angular e do elemento de área cilíndrico).
Passo 6
Aplicação da fórmula ao nosso campo
.
- Identificamos os componentes de
:
- Agora calculamos cada componente do rotacional usando as fórmulas:
- Componente radial:
(Explicação:
não depende de
;
não depende de
.)
- Componente azimutal:
- Componente axial:
- Derivando
em relação a :
- Então
- Assim o rotacional é
Passo 7
Checagem alternativa em coordenadas cartesianas (rápida verificação).
- Em cartesianas tínhamos
. Calculando o rotacional:
- Resultado igual:
. Isso é consistente e dá confiança no cálculo.