Um corpo rígido está em rotação ao redor de um eixo fixo com uma velocidade angular constante \vec{\omega}. Admita que \vec{\omega} está ao longo do eixo z. Expresse o vetor posição \vec{r} em coordenadas cilíndricas circulares e, usando coordenadas cilíndricas circulares, calcule \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r} e \vec{\nabla} \times \vec{v}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (tudo que vamos usar):
  • Pede-se expressar o vetor posição \vec{r} em coordenadas cilíndricas circulares e, usando coordenadas cilíndricas, calcular \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} e \vec{\nabla}\times\vec{v}.
  • Informação dada: o corpo gira com velocidade angular constante \vec{\omega} ao longo do eixo z. Ou seja, podemos escrever \vec{\omega}=\omega\,\hat{\boldsymbol{z}} com \omega constante.
  • Vamos usar coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) com os versores unitários \hat{\boldsymbol{\rho}},\hat{\boldsymbol{\varphi}},\hat{\boldsymbol{z}}.

Passo 2

Definição e expressão do vetor posição em cilíndricas (aula rápida e concreta).
  • Em coordenadas cilíndricas, um ponto tem coordenadas (\rho,\varphi,z), onde \rho é a distância radial ao eixo z, \varphi é o ângulo azimutal e z é a altura.
  • Os versores dependem do ângulo \varphi e são dados por:
\hat{\boldsymbol{\rho}}=\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{x}}+\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{y}}, \qquad \hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{x}}+\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{y}}, \qquad \hat{\boldsymbol{z}}=\hat{\boldsymbol{z}}.
  • O vetor posição em cilíndricas é simplesmente a combinação radial e axial:
\vec{r}=\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+z\,\hat{\boldsymbol{z}}.
Explicação: isso vem da identificação x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi, então \vec{r}=x\hat{\boldsymbol{x}}+y\hat{\boldsymbol{y}}+z\hat{\boldsymbol{z}}=\rho\hat{\boldsymbol{\rho}}+z\hat{\boldsymbol{z}}.

Passo 3

Cálculo de \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} em cilíndricas (método direto com versores).
  • Escrevemos \vec{\omega}=\omega\,\hat{\boldsymbol{z}} e \vec{r}=\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+z\,\hat{\boldsymbol{z}}.
  • Usamos a identidade dos produtos vetoriais entre os versores cilíndricos: \hat{\boldsymbol{z}}\times\hat{\boldsymbol{\rho}}=\hat{\boldsymbol{\varphi}} e \hat{\boldsymbol{z}}\times\hat{\boldsymbol{z}}=\vec{0}.
  • Portanto
\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\omega\,\hat{\boldsymbol{z}}\times\big(\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+z\,\hat{\boldsymbol{z}}\big) =\omega\,\rho\big(\hat{\boldsymbol{z}}\times\hat{\boldsymbol{\rho}}\big)+\omega\,z\big(\hat{\boldsymbol{z}}\times\hat{\boldsymbol{z}}\big) =\omega\,\rho\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
  • Interpretação prática: o campo de velocidades de uma rotação sólida tem componente azimutal v_\varphi=\omega\rho e v_\rho=0,\;v_z=0. Ou seja, o módulo da velocidade cresce linearmente com a distância \rho ao eixo.

Passo 4

Checagem alternativa em cartesiano (para fixar a intuição).
  • Em coordenadas cartesianas \vec{r}=x\hat{\boldsymbol{x}}+y\hat{\boldsymbol{y}}+z\hat{\boldsymbol{z}} com x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi.
  • Com \vec{\omega}=\omega\hat{\boldsymbol{z}} tem-se
\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} =\omega\hat{\boldsymbol{z}}\times(x\hat{\boldsymbol{x}}+y\hat{\boldsymbol{y}}+z\hat{\boldsymbol{z}}) =\omega(-y\hat{\boldsymbol{x}}+x\hat{\boldsymbol{y}}).
  • Convertendo esse resultado para versores cilíndricos usando \hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{x}}+\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{y}} e x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi, obtemos
\vec{v}=\omega\rho\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},
o mesmo resultado do passo anterior. Isso confirma que não houve erro.

Passo 5

Fórmula do rotacional (curl) em coordenadas cilíndricas e explicação do que cada termo significa.
  • Para um campo vetorial genérico \vec{A}=A_\rho(\rho,\varphi,z)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+A_\varphi(\rho,\varphi,z)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}+A_z(\rho,\varphi,z)\,\hat{\boldsymbol{z}}, o rotacional em cilíndricas tem componentes:
(\nabla\times\vec{A})_\rho=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z},
(\nabla\times\vec{A})_\varphi=\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial\rho},
(\nabla\times\vec{A})_z=\frac{1}{\rho}\!\left[\frac{\partial}{\partial\rho}\!\big(\rho\,A_\varphi\big)-\frac{\partial A_\rho}{\partial\varphi}\right].
  • Significado rápido: cada componente do rotacional combina derivadas espaciais dos componentes do campo, adaptadas à geometria cilíndrica (o fator 1/\rho e o termo \rho A_\varphi aparecem por causa da dependência angular e do elemento de área cilíndrico).

Passo 6

Aplicação da fórmula ao nosso campo \vec{v}.
  • Identificamos os componentes de \vec{v}:
v_\rho=0,\qquad v_\varphi=\omega\rho,\qquad v_z=0.
  • Agora calculamos cada componente do rotacional usando as fórmulas:
  1. Componente radial:
(\nabla\times\vec{v})_\rho=\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial v_\varphi}{\partial z} =\frac{1}{\rho}\cdot 0-\frac{\partial (\omega\rho)}{\partial z}=0-0=0.
(Explicação: v_z=0 não depende de \varphi; v_\varphi=\omega\rho não depende de z.)
  1. Componente azimutal:
(\nabla\times\vec{v})_\varphi=\frac{\partial v_\rho}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial\rho} =\frac{\partial 0}{\partial z}-\frac{\partial 0}{\partial\rho}=0-0=0.
  1. Componente axial:
(\nabla\times\vec{v})_z=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial}{\partial\rho}\!\big(\rho\,v_\varphi\big)-\frac{\partial v_\rho}{\partial\varphi}\right] =\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial}{\partial\rho}\!\big(\rho\cdot(\omega\rho)\big)-0\right] =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\big(\omega\rho^2\big).
  • Derivando \omega\rho^2 em relação a \rho:
\frac{\partial}{\partial\rho}\!\big(\omega\rho^2\big)=\omega\cdot 2\rho =2\omega\rho.
  • Então
(\nabla\times\vec{v})_z=\frac{1}{\rho}\cdot 2\omega\rho=2\omega.
  • Assim o rotacional é
\boxed{\nabla\times\vec{v}=2\omega\,\hat{\boldsymbol{z}}.}

Passo 7

Checagem alternativa em coordenadas cartesianas (rápida verificação).
  • Em cartesianas tínhamos \vec{v}=\omega(-y\hat{\boldsymbol{x}}+x\hat{\boldsymbol{y}}). Calculando o rotacional:
(\nabla\times\vec{v})_x=\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}=0-0=0,
(\nabla\times\vec{v})_y=\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}=0-0=0,
(\nabla\times\vec{v})_z=\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y} =\frac{\partial (\omega x)}{\partial x}-\frac{\partial(-\omega y)}{\partial y}=\omega-(-\omega)=2\omega.
  • Resultado igual: \nabla\times\vec{v}=2\omega\,\hat{\boldsymbol{z}}. Isso é consistente e dá confiança no cálculo.

Resposta

\displaystyle \vec{r}=\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+z\,\hat{\boldsymbol{z}}
\displaystyle \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\omega\,\rho\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}
\displaystyle \nabla\times\vec{v}=2\omega\,\hat{\boldsymbol{z}}

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