Calcule o volume do sólido no interior do cilindro x^2+y^2-a x=0 delimitado pela esfera x^2+y^2+z^2=a^2. Desenhe.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região comum ao cilindro x^2+y^2-ax=0 e à esfera x^2+y^2+z^2=a^2. O conteúdo envolve coordenadas cilíndricas e integração tripla para volumes. Vamos descrever cada superfície em coordenadas adequadas e montar a integral.

Passo 2

No plano xy usamos coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta. A equação do cilindro fica
x^2+y^2-ax=0Longrightarrow r^2 - a rcostheta=0Longrightarrow r=acostheta
Como r>=0, temos 0<= r<= acostheta e costheta>=0, isto é -tfracpi2<=theta<=tfracpi2.

Passo 3

A esfera em cilíndricas é r^2+z^2=a^2, então para cada r fixo
-raiza^2-r^2<= z<=raiza^2-r^2

Passo 4

O volume em coordenadas cilíndricas é
V=integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^acosthetaintegralz=-raiza^2-r^2^raiza^2-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integral-raiza^2-r^2^raiza^2-r^2r,dz=2rraiza^2-r^2
Então
V=2integral-pi/2^pi/2integral0^acosthetarraiza^2-r^2,dr,dtheta

Passo 6

Para a integral em r, fazemos u=a^2-r^2, du=-2r,dr. Então
integral0^acosthetarraiza^2-r^2,dr=-tfrac12integralu=a^2^a^2sin^2theta!u^1/2,du=tfraca^33l(1-|sintheta|^3r)

Passo 7

Substituindo de volta e tirando constantes:
V=2a^33integral-pi/2^pi/2l(1-|sintheta|^3r),dtheta =tfrac2a^33l[pi-2integral0^pi/2sin^3theta,dthetar]
Sabemos integral0^pi/2sin^3theta,dtheta=tfrac23, logo
V=tfrac2a^33l(pi-2cdottfrac23r)=tfrac2a^39(3pi-4)

Passo 8

Para desenhar, esboce a esfera de raio a centrada na origem e o cilindro de raio a/2 cujo eixo é paralelo a z e deslocado em x=a/2. A região de interseção é o “túnel” cilíndrico recortado na esfera.

Resposta

V=tfrac2a^39(3pi-4).

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