Calcule o volume do sólido no interior do cilindro
delimitado pela esfera
. Desenhe.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região comum ao cilindro
e à esfera
. O conteúdo envolve coordenadas cilíndricas e integração tripla para volumes. Vamos descrever cada superfície em coordenadas adequadas e montar a integral.
Passo 2
No plano
usamos coordenadas cilíndricas
,
. A equação do cilindro fica
Como
, temos
e
, isto é
.
Passo 3
A esfera em cilíndricas é
, então para cada
fixo
Passo 4
O volume em coordenadas cilíndricas é
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Então
Passo 6
Para a integral em
, fazemos
,
. Então
Passo 7
Substituindo de volta e tirando constantes:
Sabemos
, logo
Passo 8
Para desenhar, esboce a esfera de raio
centrada na origem e o cilindro de raio
cujo eixo é paralelo a
e deslocado em
. A região de interseção é o “túnel” cilíndrico recortado na esfera.