Encontre o valor de a, b e c para que a função F(x, y, z)=a y^2 z^3 i+b x y z^3 j+c x y^2 z^2 k seja uma função potencial para o campo ointC F cdot d r. Em seguida, use o Teorema de Stokes para calcular C, onde x=cos t, y=sen t, z=1 ; 0 <= t <= 2 pi é a curva

Passo 1

A questão nos pede para determinar constantes a, b e c de modo que o campo vetorial F(x,y,z)=a,y^2z^3,i+b,xy z^3,j+c,xy^2z^2,k seja conservativo com potencial dado por f(x,y,z)=tfrac16xy^2z^3, e depois calcular ointCFcdot dr usando o Teorema de Stokes, onde C é a curva x=cos t,,y=sin t,,z=1,;0<= t<=2pi. Vamos precisar do conceito de gradiente de uma função escalar e do Teorema de Stokes (ou do Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos).

Passo 2

Para que F=nabla f, devemos igualar as derivadas parciais de f com as componentes de F. Calculando nabla f:
partial fpartial x=16y^2z^3,
partial fpartial y=16cdot xcdot2y,z^3=13xy z^3,
partial fpartial z=16cdot x y^2cdot3z^2=12xy^2z^2
Comparando com F=(a y^2 z^3,b x y z^3,c x y^2 z^2), obtemos:
a=tfrac16, b=tfrac13, c=tfrac12

Passo 3

Como F é conservativo ( F=nabla f), seu rotacional é zero e a integral de linha fechada sobre qualquer curva C é nula. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos ou diretamente pelo Teorema de Stokes:
ointCFcdot dr=integralS(nablatimesF)cdot dS=0,
já que nablatimesF=0.

Passo 4

Assim, a integral de linha fechada ao longo de C vale zero.

Resposta

a=1/6, b=1/3, c=1/2 e ointCFcdot dr=0.

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