Encontre o valor de
e
para que a função
seja uma função potencial para o campo
. Em seguida, use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
é a curva
Passo 1
A questão nos pede para determinar constantes a, b e c de modo que o campo vetorial
seja conservativo com potencial dado por
, e depois calcular
usando o Teorema de Stokes, onde
é a curva
. Vamos precisar do conceito de gradiente de uma função escalar e do Teorema de Stokes (ou do Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos).
Passo 2
Para que
, devemos igualar as derivadas parciais de
com as componentes de
. Calculando
:
Comparando com
, obtemos:
Passo 3
Como
é conservativo (
), seu rotacional é zero e a integral de linha fechada sobre qualquer curva
é nula. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos ou diretamente pelo Teorema de Stokes:
já que
.
Passo 4
Assim, a integral de linha fechada ao longo de
vale zero.
Resposta
a=1/6, b=1/3, c=1/2 e
.