Ache o comprimento de arco da curva y=\frac{1}{12} x^{3}+x^{-1} do ponto em que x=1 ao 2.0 ponto em que x=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva
y = \frac{1}{12}x^{3} + x^{-1}
no intervalo de x=1 até x=3. O conteúdo envolvido é o uso da fórmula de comprimento de arco para uma função y=f(x), que diz que
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y. Temos
y = \frac{1}{12}x^{3} + x^{-1},
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y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{12}x^{3}\Bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = \frac{1}{4}x^{2} - x^{-2}.

Passo 3

Substituímos y' na expressão do comprimento de arco:
L = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{1}{4}x^{2} - x^{-2}\Bigr)^{2}}\,dx.

Passo 4

Vamos simplificar o integrando. Primeiro:
\Bigl(\tfrac{1}{4}x^{2} - x^{-2}\Bigr)^{2} = \frac{(x^{4}-4)^{2}}{16\,x^{4}}.
Então,
1 + \bigl(y'\bigr)^{2} = 1 + \frac{(x^{4}-4)^{2}}{16\,x^{4}} = \frac{16\,x^{4} + (x^{4}-4)^{2}}{16\,x^{4}} = \frac{(x^{4}+4)^{2}}{16\,x^{4}}.
Portanto,
\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}} = \frac{x^{4}+4}{4\,x^{2}}.

Passo 5

O comprimento de arco fica
L = \int_{1}^{3} \frac{x^{4}+4}{4\,x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\int_{1}^{3}\bigl(x^{2} + 4\,x^{-2}\bigr)\,dx.
Calculamos a primitiva:
\int \bigl(x^{2} + 4\,x^{-2}\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - 4\,x^{-1}.
Logo,
L = \frac{1}{4}\Bigl[\frac{x^{3}}{3} - \frac{4}{x}\Bigr]_{1}^{3}.

Passo 6

Agora avaliamos em x=3 e em x=1:
\Bigl(\frac{x^{3}}{3} - \frac{4}{x}\Bigr)\Big|_{1}^{3} = \Bigl(\frac{27}{3} - \frac{4}{3}\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{3} - 4\Bigr) = \Bigl(9 - \tfrac{4}{3}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{3} - 4\Bigr) = \frac{23}{3} - \bigl(-\tfrac{11}{3}\bigr) = \frac{34}{3}.
Multiplicando por \tfrac{1}{4}, obtemos
L = \frac{1}{4}\cdot \frac{34}{3} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}.

Resposta

O comprimento de arco é \displaystyle \frac{17}{6}.

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