Um campo de forças \vec{F}(x, y)=P(x, y) \vec{\imath}+Q(x, y) \vec{\jmath}, onde P e Q são funções definidas num aberto A \subset \mathbb{R}^{2}, denomina-se conservativo se existe um campo escalar \varphi: A \rightarrow \mathbb{R} tal que:
\nabla \varphi(x, y)=\vec{F}(x, y) \text { em } A
Uma tal função \varphi, quando existe, denomina-se função potencial associada ao campo \vec{F}. O campo de forças dado é conservativo? Justifique:
\vec{F}(x, y)=e^{x^{2}-y^{2}}(2 x \vec{\imath}-2 y \vec{\jmath})

Passo 1

Temos o campo de forças
\displaystyle \vec F(x,y)=P(x,y)\,\vec\imath+Q(x,y)\,\vec\jmath
com
\displaystyle P(x,y)=2x\,e^{\,x^2 - y^2}
e
\displaystyle Q(x,y)=-2y\,e^{\,x^2 - y^2}.
Queremos saber se \vec F é conservativo em A=\mathbb{R}^2. Num aberto simplesmente conectado como \mathbb{R}^2, basta verificar se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{\,x^2 - y^2}\bigr) =2x\,e^{\,x^2 - y^2}\,\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) =2x\,e^{\,x^2 - y^2}\,(-2y) =-4xy\,e^{\,x^2 - y^2}.

Passo 3

Calculemos agora
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2y\,e^{\,x^2 - y^2}\bigr) =-2y\,e^{\,x^2 - y^2}\,\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2) =-2y\,e^{\,x^2 - y^2}\,(2x) =-4xy\,e^{\,x^2 - y^2}.

Passo 4

Observamos que
\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conectado. Logo, por esse critério, \vec F é conservativo. Podemos ainda exibir uma função potencial: integrando P em x,
\varphi(x,y)=\int 2x\,e^{\,x^2 - y^2}\,dx =e^{\,x^2 - y^2}+C,
e confirma-se que \nabla\varphi=\vec F.

Resposta

Sim. O campo é conservativo, pois \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em \mathbb{R}^2, e uma potencial é
\varphi(x,y)=e^{\,x^2 - y^2}+C.

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