e pede o conjunto de pontos onde f é diferenciável. O conteúdo que vamos usar é 1. que quocientes de funções C^\infty com denominador não nulo são diferenciáveis, 2. o teste de diferenciabilidade no ponto pelo desenvolvimento linear usando derivadas parciais, 3. a relação entre diferenciabilidade e continuidade.]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) temos que o numerador 2xy e o denominador x^2+y^2 são funções C^\infty e x^2+y^2\neq0. Logo, por regra de quociente, f é C^\infty em todo ponto fora da origem, portanto diferenciável em todo \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.
Passo 3
Resta verificar a diferenciabilidade em (0,0). Primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0). Para a parcial em x:
À medida que r\to0, esse quociente não tende a zero (na verdade tende a \pm\infty para \sin(2\theta)\neq0), o que mostra que f não é sequer contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável aí.