Determine o conjunto dos pontos onde f(x, y) é diferenciável sabendo que:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \quad(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o conjunto de pontos onde f é diferenciável. O conteúdo que vamos usar é
1. que quocientes de funções C^\infty com denominador não nulo são diferenciáveis,
2. o teste de diferenciabilidade no ponto pelo desenvolvimento linear usando derivadas parciais,
3. a relação entre diferenciabilidade e continuidade.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos que o numerador 2xy e o denominador x^2+y^2 são funções C^\infty e x^2+y^2\neq0. Logo, por regra de quociente, f é C^\infty em todo ponto fora da origem, portanto diferenciável em todo \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Resta verificar a diferenciabilidade em (0,0). Primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0). Para a parcial em x:
f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Analogamente,
f_y(0,0)=0.
O candidato ao mapa linear diferencial em (0,0) é, portanto, L(x,y)=0.

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0) precisamos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} =0.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y)=\frac{2r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\sin(2\theta),
então
\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{\sin(2\theta)}{r}.
À medida que r\to0, esse quociente não tende a zero (na verdade tende a \pm\infty para \sin(2\theta)\neq0), o que mostra que f não é sequer contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável aí.

Resposta

O conjunto dos pontos onde f é diferenciável é
\{(x,y)\in\mathbb R^2 : (x,y)\neq(0,0)\}.

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