Calcule o volume do sólido gerado, pela rotação em torno do eixo
, da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de
a região limitada pelas curvas
e
O método mais direto é o das “arruelas” (washers) com integração em
. Precisamos:
- Encontrar os limites de integração (interseção das curvas).
- Expressar o raio externo e o raio interno em função de
. - Montar a integral do volume e calculá-la.
Passo 2
Para achar onde as curvas se encontram, igualamos
Isto dá
de onde, em
, vêm as soluções
e
. Logo a região está em
, com
sendo a fronteira inferior e
a superior.
Passo 3
O eixo de rotação é a reta horizontal
. Em cada
, a distância da reta até a curva inferior
é o raio externo
e até a curva superior
é o raio interno
Passo 4
Pelo método das arruelas, o volume é
Expandindo o integrando:
Passo 5
Calculamos termo a termo:
Somando com os sinais:
Passo 6
Portanto o volume é