Calcule o volume do sólido gerado, pela rotação em torno do eixo y=1, da região delimitada pelas curvas y=\sqrt[4]{x} e y=x^{4}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=1 a região limitada pelas curvas
y = x^{1/4}
e
y = x^4.
O método mais direto é o das “arruelas” (washers) com integração em x. Precisamos:
  1. Encontrar os limites de integração (interseção das curvas).
  2. Expressar o raio externo e o raio interno em função de x.
  3. Montar a integral do volume e calculá-la.

Passo 2

Para achar onde as curvas se encontram, igualamos
x^{1/4} = x^4.
Isto dá
x^4 - x^{1/4} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{1/4}\bigl(x^{15}-1\bigr)=0,
de onde, em [0,\infty), vêm as soluções x=0 e x=1. Logo a região está em 0\le x\le1, com y=x^4 sendo a fronteira inferior e y=x^{1/4} a superior.

Passo 3

O eixo de rotação é a reta horizontal y=1. Em cada x, a distância da reta até a curva inferior y=x^4 é o raio externo
R_{\text{ext}} = 1 - x^4,
e até a curva superior y=x^{1/4} é o raio interno
R_{\text{int}} = 1 - x^{1/4}.

Passo 4

Pelo método das arruelas, o volume é
V = \pi \int_{0}^{1} \Bigl(R_{\text{ext}}^2 - R_{\text{int}}^2\Bigr)\,dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl[(1 - x^4)^2 - (1 - x^{1/4})^2\bigr]\;dx.
Expandindo o integrando:
(1 - x^4)^2 - (1 - x^{1/4})^2 = \bigl(1 - 2x^4 + x^8\bigr) - \bigl(1 - 2x^{1/4} + x^{1/2}\bigr) = 2x^{1/4} - x^{1/2} - 2x^4 + x^8.

Passo 5

Calculamos termo a termo:
\int_{0}^{1}2x^{1/4}\,dx = 2\cdot\frac{x^{5/4}}{5/4}\Big|_{0}^{1} = \frac{8}{5},
\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3},
\int_{0}^{1}2x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{5},
\int_{0}^{1}x^{8}\,dx = \frac{x^{9}}{9}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{9}.
Somando com os sinais:
\int_{0}^{1}\bigl(2x^{1/4}-x^{1/2}-2x^4+x^8\bigr)\,dx = \frac{8}{5}-\frac{2}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{9} = \frac{29}{45}.

Passo 6

Portanto o volume é
V = \pi \cdot \frac{29}{45} = \frac{29\pi}{45}.

Resposta

V = \frac{29\pi}{45}.

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