Usando a Regra de L’Hôpital, encontre o valor dos limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln \left(1+\frac{3}{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty} x \ln\!\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr).
Esse tipo de limite é da forma “ \infty \times 0”, então vamos usar a Regra de L’Hôpital. Para isso, primeiro transformamos o produto numa fração que dê 0/0.

Passo 2

Escrevemos
x \ln\!\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr) =\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{3}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}}.
Quando x\to\infty, o numerador vai a \ln(1+0)=0 e o denominador vai a 1/\,\infty=0. Assim temos a forma 0/0, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{3}{x}\bigr)\Bigr] =\frac{1}{1+\tfrac{3}{x}}\cdot\Bigl(-\frac{3}{x^2}\Bigr),
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{x}\Bigr] =-\frac{1}{x^2}.
Logo o limite vira
\lim_{x\to\infty} \frac{-\frac{3}{x^2\bigl(1+\tfrac{3}{x}\bigr)}}{-\tfrac{1}{x^2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{3}{1+\tfrac{3}{x}} =\frac{3}{1+0}=3.

Resposta

3

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