Ache o comprimento de arco da curva y=\frac{2}{3}(x-2)^{\frac{3}{2}} do ponto onde x=6 ao ponto onde x=8.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = \frac{2}{3}(x-2)^{\frac{3}{2}}
e pede o comprimento de arco desde x=6 até x=8. Para isso vamos usar a fórmula de comprimento de arco de uma função y(x):
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de
y = \frac{2}{3}(x-2)^{\frac{3}{2}}.
Pelo regra da potência e da cadeia,
y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}(x-2)^{\frac{1}{2}} = (x-2)^{\frac{1}{2}}.

Passo 3

Substituímos em 1 + (y')^2:
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2} = 1 + (x-2) = x-1.
Logo o integrando vira \sqrt{x-1}.

Passo 4

O comprimento de arco é
L = \int_{6}^{8} \sqrt{x-1}\;dx.
Fazemos a mudança de variável u = x-1, de modo que du = dx. Quando x=6, u=5; quando x=8, u=7. Assim
L = \int_{5}^{7} \sqrt{u}\;du.

Passo 5

Integramos \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}:
\int u^{\frac{1}{2}}\,du = \frac{2}{3}\,u^{\frac{3}{2}}.
Logo
L = \frac{2}{3}\Bigl[u^{\frac{3}{2}}\Bigr]_{5}^{7} = \frac{2}{3}\bigl(7^{\frac{3}{2}} - 5^{\frac{3}{2}}\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(7\sqrt{7} - 5\sqrt{5}\bigr).

Resposta

L = \frac{2}{3}\bigl(7\sqrt{7} - 5\sqrt{5}\bigr).

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