Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto do plano limitado pela reta y=-4 e pelo gráfico de y=-x^{2}.

Passo 1

O enunciado define A como a região do plano limitada pela parábola y=-x^2 e pela reta y=-4. Vamos desenhar essa região e depois calcular sua área usando integração definida entre curvas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
-x^2 = -4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.
Logo, as curvas se cruzam em (-2,-4) e (2,-4).

Passo 3

Desenho esquemático da região:
A parábola y=-x^2 abre para baixo, passando por (0,0) e cruzando a reta horizontal y=-4 em (-2,-4) e (2,-4). O conjunto A é o “fundo” formado entre a parábola (acima) e a reta (embaixo), para -2\le x\le 2.

Passo 4

A área entre duas curvas y_{\rm sup} e y_{\rm inf} de x=a a x=b é
\text{Área} = \int_{a}^{b} \bigl(y_{\rm sup} - y_{\rm inf}\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{\rm sup}=-x^2, y_{\rm inf}=-4, a=-2, b=2. Assim,
\text{Área}(A) = \int_{-2}^{2} \bigl((-x^2)-(-4)\bigr)\,dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral:
\int (4 - x^2)\,dx = 4x - \frac{x^3}{3}.
Logo,
\text{Área}(A) = \Bigl[4x - \frac{x^3}{3}\Bigr]_{-2}^{2} = \Bigl(8 - \frac{8}{3}\Bigr) - \Bigl(-8 + \frac{8}{3}\Bigr) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.Á

Resposta

A área do conjunto A é \tfrac{32}{3}.

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