Encontre a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, da parte da curva y=x^{2} entre x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, da parte da curva y = x^2 no intervalo 1 \le x \le 2. O conteúdo é cálculo de área de superfície de revolução, e vamos usar a fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} x \,\sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx
para a curva y=f(x) girando em torno do eixo y.

Passo 2

Temos f(x)=x^2, logo
f'(x)=2x.
Substituindo na fórmula,
S = 2\pi \int_{1}^{2} x\,\sqrt{1 + (2x)^2}\,dx = 2\pi \int_{1}^{2} x\,\sqrt{1 + 4x^2}\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int x\,\sqrt{1 + 4x^2}\,dx,
fazemos a substituição u = 1 + 4x^2, de modo que du = 8x\,dx ou x\,dx = \tfrac{1}{8}\,du. Assim,
\int x\,\sqrt{1 + 4x^2}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} = \frac{1}{12}\,u^{\tfrac32}.

Passo 4

Voltando a x,
\int_{1}^{2} x\,\sqrt{1 + 4x^2}\,dx = \frac{1}{12}\Bigl(1 + 4x^2\Bigr)^{\tfrac32}\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{12}\Bigl((1+16)^{\tfrac32} - (1+4)^{\tfrac32}\Bigr) = \frac{1}{12}\bigl(17^{\tfrac32} - 5^{\tfrac32}\bigr).
Portanto,
S = 2\pi \times \frac{1}{12}\bigl(17^{\tfrac32} - 5^{\tfrac32}\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}\bigr).

Resposta

S = \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}\bigr).

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