Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que
0 \leq y \leq 9-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região do plano definida por
0 \le y \le 9 - x^2.
Esse é um problema de cálculo de volume por método dos discos (ou anéis) em rotação em torno do eixo x. Vamos precisar:
– determinar os limites de x onde a região existe;
– escrever o raio do disco em função de x;
– integrar a área \pi [\text{raio}(x)]^2 nesses limites.

Passo 2

Para encontrar os limites em x, usamos a condição y\ge0 e y=9-x^2. Igualando a zero:
9 - x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 3.
Logo, a região está para x variando de -3 a 3.

Passo 3

Em cada x, o disco gerado tem raio igual ao valor máximo de y, ou seja,
R(x) = 9 - x^2.
A área dessa seção transversal é
A(x) = \pi\bigl[R(x)\bigr]^2 = \pi\,(9 - x^2)^2.

Passo 4

O volume é dado pela integral
V = \int_{x=-3}^{3} A(x)\,dx = \pi \int_{-3}^{3} (9 - x^2)^2\,dx.

Passo 5

Expandimos o integrando:
(9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4.
Então
\int_{-3}^{3} (9 - x^2)^2\,dx = \int_{-3}^{3} \bigl(81 - 18x^2 + x^4\bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int (81)\,dx = 81x, \quad \int (-18x^2)\,dx = -18 \cdot \frac{x^3}{3} = -6x^3, \quad \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}.
Portanto,
\int_{-3}^{3} (81 - 18x^2 + x^4)\,dx = \Bigl[81x - 6x^3 + \frac{x^5}{5}\Bigr]_{-3}^{3}.
Avaliaremos em x=3 e x=-3.

Passo 7

Em x=3:
81\cdot3 - 6\cdot3^3 + \frac{3^5}{5} = 243 - 6\cdot27 + \frac{243}{5} = 243 - 162 + \frac{243}{5} = 81 + \frac{243}{5} = \frac{405 + 243}{5} = \frac{648}{5}.
Em x=-3:
81\cdot(-3) - 6\cdot(-3)^3 + \frac{(-3)^5}{5} = -243 + 162 - \frac{243}{5} = -81 - \frac{243}{5} = -\frac{405 + 243}{5} = -\frac{648}{5}.
Subtraindo:
\int_{-3}^{3} (9 - x^2)^2\,dx = \frac{648}{5} - \Bigl(-\frac{648}{5}\Bigr) = \frac{1296}{5}.

Passo 8

Multiplicando por \pi, obtemos o volume:
V = \pi \cdot \frac{1296}{5} = \frac{1296\pi}{5}.

Resposta

\boxed{V = \frac{1296\pi}{5}}.

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