Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares (
) tais que
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região do plano definida por
Esse é um problema de cálculo de volume por método dos discos (ou anéis) em rotação em torno do eixo
. Vamos precisar:
– determinar os limites de onde a região existe;
– escrever o raio do disco em função de ;
– integrar a área nesses limites.
– determinar os limites de
– escrever o raio do disco em função de
– integrar a área
Passo 2
Para encontrar os limites em
, usamos a condição
e
. Igualando a zero:
Logo, a região está para
variando de
a
.
Passo 3
Em cada
, o disco gerado tem raio igual ao valor máximo de
, ou seja,
A área dessa seção transversal é
Passo 4
O volume é dado pela integral
Passo 5
Expandimos o integrando:
Então
Passo 6
Integramos termo a termo:
Portanto,
Avaliaremos em
e
.
Passo 7
Em
:
Em
:
Subtraindo:
Passo 8
Multiplicando por
, obtemos o volume: