Questão 1 ( 2,0 pontos)
Prove que n^{2}+1 não é divisível por 3 qualquer que seja o inteiro n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n, o número n^{2}+1 não é divisível por 3. O conteúdo usado será aritmética modular, em particular a classificação de restos de um inteiro ao dividir por 3.

Passo 2

Vamos escrever n na forma de divisão euclidiana por 3. Ou seja, existem inteiros q e r tais que
n = 3q + r,
onde o resto r só pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 3

Calculamos n^{2}+1 em cada caso, reduzindo módulo 3:
  • Se r=0, então
n^{2}+1 = (3q)^{2}+1 = 9q^{2}+1 \equiv 1 \pmod{3}.
  • Se r=1, então
n^{2}+1 = (3q+1)^{2}+1 = 9q^{2}+6q+1+1 \equiv 2 \pmod{3}.
  • Se r=2, então
n^{2}+1 = (3q+2)^{2}+1 = 9q^{2}+12q+4+1 = 9q^{2}+12q+5 \equiv 2 \pmod{3}.
Em nenhum dos três casos obtemos resto 0 ao dividir por 3.

Passo 4

Como, para qualquer resto r\in\{0,1,2\}, o valor de n^{2}+1 não fica congruente a zero módulo 3, concluímos que 3 nunca divide n^{2}+1.

Resposta

Para todo inteiro n, não existe k\in\mathbb{Z} tal que n^{2}+1=3k. Portanto, n^{2}+1 não é divisível por 3.

Exercícios relacionados