Ache o comprimento da curva.
y=ln (x), 1 <= x <= raiz3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o comprimento da curva
y=ln(x) para 1<= x<= raiz3.
O conteúdo é comprimento de arco de curva no plano e usaremos a fórmula
L=integrala^braiz1+l(y'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y=ln(x).
Como
ddxln(x)=1x,
ficamos com
y'(x)=1x

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, o integrando vira
raiz1+l(tfrac1xr)^2 =raiz1+tfrac1x^2 =raizx^2+1x

Passo 4

Logo, o comprimento é
L=integral1^raiz3raizx^2+1x,dx

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a primitiva conhecida
integralraizx^2+1x,dx =raizx^2+1 -ln!gl(1+raizx^2+1xgr)

Passo 6

Avaliando de 1 a raiz3:
Para x=raiz3, raizx^2+1=2 e
ln!l(tfrac1+raizx^2+1xr) =ln!l(tfrac1+2raiz3r) =ln(raiz3),
portanto
F(raiz3)=2-ln(raiz3)
Para x=1, raiz1^2+1=raiz2 e
ln!l(tfrac1+raiz21r) =ln(1+raiz2),
logo
F(1)=raiz2-ln(1+raiz2)
Assim
L=F(raiz3)-F(1) =2-ln(raiz3)-l(raiz2-ln(1+raiz2)r)

Passo 7

Simplificando,
L =2-raiz2-ln(raiz3)+ln(1+raiz2) =2-raiz2+ln!l(tfrac1+raiz2raiz3r)

Resposta

L=2-raiz2+ln!l(tfrac1+raiz2raiz3r).

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