Determine
e
das seguintes funções:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Isso está dentro do tópico de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. A função dada é:
Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se
e
são funções de
, então:
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
-
então -
então precisamos encontrar
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
Aqui,
, então
(porque
é tratado como uma constante ao derivar em relação a
).
Portanto,
Passo 4
Voltando à derivada parcial
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Usando a mesma função:
Aqui,
é tratado como uma constante ao derivar em relação a
.
Passo 6
Para derivar
em relação a
, usamos novamente a regra do produto, onde:
-
(constante em relação a ) então -
então precisamos encontrar
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Aplicando a regra do produto para
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e