Determine fx(x, y) e fy(x, y) das seguintes funções:
f(x, y)=x ln (x^2-y^2)

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de f(x, y) em relação a x e a y . Isso está dentro do tópico de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que é denotada por fx(x, y) . A função dada é:
f(x, y) = x ln(x^2 - y^2)
Aqui, temos um produto de duas funções de x : x e ln(x^2 - y^2) . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se u e v são funções de x , então:
partialpartial x(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v'

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
  • u = x então u' = 1
  • v = ln(x^2 - y^2) então precisamos encontrar v'
Para derivar v , usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
ddx ln(g(x)) = g'(x)g(x)
Aqui, g(x) = x^2 - y^2 , então g'(x) = 2x (porque y é tratado como uma constante ao derivar em relação a x ).
Portanto,
v' = 2xx^2 - y^2

Passo 4

Voltando à derivada parcial fx(x, y) :
fx(x, y) = u' cdot v + u cdot v' = 1 cdot ln(x^2 - y^2) + x cdot 2xx^2 - y^2
Simplificando:
fx(x, y) = ln(x^2 - y^2) + 2x^2x^2 - y^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , denotada por fy(x, y) .
Usando a mesma função:
f(x, y) = x ln(x^2 - y^2)
Aqui, x é tratado como uma constante ao derivar em relação a y .

Passo 6

Para derivar f em relação a y , usamos novamente a regra do produto, onde:
  • u = x (constante em relação a y ) então u' = 0
  • v = ln(x^2 - y^2) então precisamos encontrar v'
Derivando v em relação a y :
ddy ln(x^2 - y^2) = -2yx^2 - y^2

Passo 7

Aplicando a regra do produto para fy(x, y) :
fy(x, y) = u' cdot v + u cdot v' = 0 cdot ln(x^2 - y^2) + x cdot ( -2yx^2 - y^2 )
Simplificando:
fy(x, y) = -2xyx^2 - y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
fx(x, y) = ln(x^2 - y^2) + 2x^2x^2 - y^2
e
fy(x, y) = -2xyx^2 - y^2

Exercícios relacionados