Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-6 x y+9 y^2x-3 y

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)x^2-6xy+9y^2x-3y
Aqui estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômio e simplificação algébrica.

Passo 2

Fatoramos o numerador como um quadrado perfeito. Note que
x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2

Passo 3

A função original está definida somente quando x-3yneq0, para evitar divisão por zero. Para esses pontos temos
x^2-6xy+9y^2x-3y =(x-3y)^2x-3y =x-3y

Passo 4

Agora basta calcular
lim(x,y)to(0,0)(x-3y)
Como xto0 e yto0, segue que x-3yto0. Não há dependência de trajetória diferente, pois a forma simplificada é contínua no entorno do ponto.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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