Determine fx(x, y) e fy(x, y) das seguintes funções:
f(x, y)=sen(5 x^3 y+7 x y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=senl(5x^3y+7xy^2r). O conteúdo aqui é derivada parcial de função composta (regra da cadeia).

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos a função interna
u(x,y)=5x^3y+7xy^2,
de modo que f(x,y)=senl(u(x,y)r). Precisamos então calcular partial u/partial x e partial u/partial y.

Passo 3

Calculamos partial u/partial x. Como
u(x,y)=5x^3y+7xy^2,
temos
partial upartial x =5cdot 3x^2y+7cdot y^2 =15x^2y+7y^2
Pela regra da cadeia,
partial fpartial x =cosl(u(x,y)r),partial upartial x =cosl(5x^3y+7xy^2r),(15x^2y+7y^2)

Passo 4

Calculamos partial u/partial y. Como
u(x,y)=5x^3y+7xy^2,
temos
partial upartial y =5x^3+7cdot 2xy =5x^3+14xy
Novamente pela regra da cadeia,
partial fpartial y =cosl(u(x,y)r),partial upartial y =cosl(5x^3y+7xy^2r),(5x^3+14xy)

Resposta

fx(x,y)=cosl(5x^3y+7xy^2r),(15x^2y+7y^2), fy(x,y)=cosl(5x^3y+7xy^2r),(5x^3+14xy)

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