Ache o comprimento da curva x = t cos(t) - sen(t), y = t sen(t) + cos(t); 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Então, a gente tem que achar o comprimento de uma curva que é definida pelas equações paramétricas:
com variando de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular as derivadas de e , e depois fazer uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por e :
Aqui, e são os limites do parâmetro . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Usando a regra do produto para :
E a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Usando a regra do produto para :
E a derivada de é . Então:

Passo 5

Substituindo e na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz quadrada:
Sabemos que , então:
(como é positivo no intervalo considerado)

Passo 6

Isso simplifica a integral para:

Passo 7

Calculando a integral:
Avaliado de até :

Resposta

O comprimento da curva é .

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