Ache o comprimento da curva
Passo 1
Então, a gente tem que achar o comprimento de uma curva que é definida pelas equações paramétricas:
com
variando de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular as derivadas de
e
, e depois fazer uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento
de uma curva parametrizada por
e
:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do produto para
:
E a derivada de é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do produto para :
E a derivada de
é . Então:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz quadrada:
Sabemos que , então:
Passo 6
Isso simplifica a integral para:
Passo 7
Calculando a integral:
Avaliado de
até
:
Resposta
O comprimento da curva é
.