Ache o comprimento da hipociclóide lx=4 sen^3 t y=4 cos ^3 t , 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para encontrar o comprimento da hipociclóide definida pelas equações paramétricas x = 4 sin^3 t e y = 4 cos^3 t para 0 <= t <= pi2 . Vamos usar o cálculo de comprimentos de curvas parametrizadas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t .

Passo 3

Calculando a derivada de x em relação a t :
dxdt = ddt(4 sin^3 t) = 4 cdot 3 sin^2 t cos t = 12 sin^2 t cos t
Agora, a derivada de y em relação a t :
dydt = ddt(4 cos^3 t) = 4 cdot 3 cos^2 t (-sin t) = -12 cos^2 t sin t

Passo 4

Vamos substituir dxdt e dydt na fórmula do comprimento:
L = integral0^pi2 raiz(12 sin^2 t cos t)^2 + (-12 cos^2 t sin t)^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
= integral0^pi2 raiz144 sin^4 t cos^2 t + 144 cos^4 t sin^2 t , dt
Fatorando 144:
= integral0^pi2 raiz144 (sin^4 t cos^2 t + cos^4 t sin^2 t) , dt
Extraindo a raiz de 144:
= 12 integral0^pi2 raizsin^4 t cos^2 t + cos^4 t sin^2 t , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
sin^4 t cos^2 t + cos^4 t sin^2 t = sin^2 t cos^2 t (sin^2 t + cos^2 t) = sin^2 t cos^2 t (1) = sin^2 t cos^2 t
Portanto, a integral fica:
L = 12 integral0^pi2 raizsin^2 t cos^2 t , dt = 12 integral0^pi2 sin t cos t , dt

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral sin t cos t , dt . Podemos usar a substituição:
u = sin t Rightarrow du = cos t , dt
Então, a integral se torna:
integral u , du = u^22 + C = sin^2 t2 + C
Aplicando os limites de 0 a pi2 :
sin^2 t2 |0^pi2 = sin^2 (pi2)2 - sin^2 02 = 12 - 0 = 12

Passo 7

Substituindo o resultado da integral no cálculo do comprimento:
L = 12 cdot 12 = 6

Resposta

O comprimento da hipociclóide é igual a 6 unidades.

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