Beleza, o enunciado pede para encontrar o comprimento da hipociclóide definida pelas equações paramétricas e para . Vamos usar o cálculo de comprimentos de curvas parametrizadas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Calculando a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :
Passo 4
Vamos substituir e na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando 144:
Extraindo a raiz de 144:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral . Podemos usar a substituição:
Então, a integral se torna:
Aplicando os limites de 0 a :
Passo 7
Substituindo o resultado da integral no cálculo do comprimento:
L = 12 cdot 12 = 6
Resposta
O comprimento da hipociclóide é igual a 6 unidades.