Calcule a integral
integral sen^2 2 t cos ^3 2 t d t

Passo 1

Temos a integral integral sin^2(2t),cos^3(2t),dt. O tema é integração de funções trigonométricas e vamos usar a técnica de substituição.

Passo 2

Reescrevemos cos^3(2t) como cos^2(2t),cos(2t) e usamos a identidade cos^2(2t)=1-sin^2(2t). Assim a integral fica
integral sin^2(2t),cos^3(2t),dt=integral (1-sin^2(2t)),sin^2(2t),cos(2t),dt

Passo 3

Fazemos a substituição u=sin(2t). Então
du=2cos(2t),dtLongrightarrowcos(2t),dt=tfracdu2\nSubstituindo na integral temos
integral (1-u^2),u^2,du2=12integral (u^2-u^4),du

Passo 4

Agora é só integrar polinômios:
12integral (u^2-u^4),du=12l(u^33-u^55r)=u^36-u^510

Passo 5

Voltando à variável t, como u=sin(2t), a antiderivada é
sin^3(2t)6-sin^5(2t)10+C

Resposta

sin^3(2t)6-sin^5(2t)10+C

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