Suponha
uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função
, tal que
satisfaça a equação
.
As soluções desta equação são as antiderivadas de
. A equação
é chamada de equação diferencial. Resolva a equação diferencial abaixo.
.
As soluções desta equação são as antiderivadas de
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos a equação diferencial
e uma condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função dada e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, entendamos que
é uma equação diferencial que nos diz a taxa de variação de
em relação a
. Para encontrar
, precisamos integrar o lado direito da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos reescrever a função a ser integrada para facilitar a integração:
Aqui, usamos as propriedades dos expoentes para simplificar a expressão.
Passo 4
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 5
Calculando cada integral:
Passo 6
Somando as integrais calculadas:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
na equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: