Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y=F(x) satisfaça a equação d y / d x=f(x).
As soluções desta equação são as antiderivadas de f(x). A equação d y / d x=f(x) é chamada de equação diferencial. Resolva a equação diferencial abaixo.
d yd x=x+1raizx, y(1)=2.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos a equação diferencial dydx = x + 1raizx e uma condição inicial y(1) = 2. Nosso objetivo é encontrar a função F(x) que satisfaz essa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função dada e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, entendamos que dydx = x + 1raizx é uma equação diferencial que nos diz a taxa de variação de y em relação a x. Para encontrar y(x), precisamos integrar o lado direito da equação em relação a x.

Passo 3

Vamos reescrever a função a ser integrada para facilitar a integração:
x + 1raizx = xraizx + 1raizx = x^12 + x^-12
Aqui, usamos as propriedades dos expoentes para simplificar a expressão.

Passo 4

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( x^12 + x^-12 ) dx = integral x^12 dx + integral x^-12 dx

Passo 5

Calculando cada integral:
integral x^12 dx = x^12 + 112 + 1 = x^3232 = 23 x^32
integral x^-12 dx = x^-12 + 1-12 + 1 = x^1212 = 2 x^12

Passo 6

Somando as integrais calculadas:
y(x) = 23 x^32 + 2 x^12 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Usamos a condição inicial y(1) = 2 para encontrar C. Substituindo x = 1 e y = 2 na equação:
2 = 23 (1)^32 + 2 (1)^12 + C
2 = 23 + 2 + C
2 = 83 + C
Subtraindo 83 de ambos os lados:
C = 2 - 83 = 63 - 83 = -23

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 23 x^32 + 2 raizx - 23

Exercícios relacionados