Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y=F(x) satisfaça a equação d y / d x=f(x).
As soluções desta equação são as antiderivadas de f(x). A equação d y / d x=f(x) é chamada de equação diferencial. Resolva a equação diferencial abaixo.
d yd t=sec ^2 t-sen t, y(pi4)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem que encontrar uma função y(t) tal que a sua derivada em relação a t seja igual a sec^2 t - sin t . Além disso, sabemos que quando t = pi4 , y vale 1. Basicamente, vamos precisar usar o conceito de antiderivadas para achar y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a expressão da derivada para encontrar y(t) . Ou seja, precisamos calcular:
integral ( sec^2 t - sin t ) dt
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral sec^2 t , dt - integral sin t , dt

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. Integral de sec^2 t :
    Sabemos que a integral de sec^2 t é tan t , porque a derivada de tan t é sec^2 t .
integral sec^2 t , dt = tan t
  1. Integral de sin t :
    A integral de sin t é -cos t , já que a derivada de -cos t é sin t .
integral sin t , dt = -cos t
Então, juntando as duas partes:
y(t) = tan t - (-cos t) + C = tan t + cos t + C
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Para achar o valor de C , usamos a condição inicial que y( pi4 ) = 1 . Vamos substituir:
1 = tan( pi4 ) + cos( pi4 ) + C
Sabemos que:
tan( pi4 ) = 1 e cos( pi4 ) = raiz22
Então:
1 = 1 + raiz22 + C
Resolvendo para C :
C = 1 - 1 - raiz22 = -raiz22

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = tan t + cos t - raiz22

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