Suponha
uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função
, tal que
satisfaça a equação
.
As soluções desta equação são as antiderivadas de
. A equação
é chamada de equação diferencial. Resolva a equação diferencial abaixo.
.
As soluções desta equação são as antiderivadas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem que encontrar uma função
tal que a sua derivada em relação a
seja igual a
. Além disso, sabemos que quando
,
vale 1. Basicamente, vamos precisar usar o conceito de antiderivadas para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a expressão da derivada para encontrar
. Ou seja, precisamos calcular:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais:
- Integral de
:
Sabemos que a integral deé , porque a derivada de é .
- Integral de
:
A integral deé , já que a derivada de é .
Então, juntando as duas partes:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Para achar o valor de
, usamos a condição inicial que
. Vamos substituir:
Sabemos que:
Então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: