Resolver os seguintes problemas:
Um fazendeiro deseja cercar um campo retangular com 800 m de arame. O campo deve margear um rio retilíneo de modo que o lado correspondente ao rio não necessita de arame. Quais deveriam ser as dimensões do retângulo de modo que a área do campo seja máxima?

Passo 1

O enunciado diz que um fazendeiro quer cercar um campo retangular que margeia um rio retilíneo. Como o lado junto ao rio não precisa de arame, ele usará os 800 m de arame para cercar apenas os outros três lados. Queremos achar as dimensões que maximizam a área desse campo. O conteúdo aqui é otimização de uma função quadrática, que faremos modelando a área e encontrando seu máximo.

Passo 2

Definimos as variáveis:
x = profundidade do campo (distância perpendicular ao rio),
y = comprimento paralelo ao rio.
Como precisamos cercar duas vezes a profundidade e uma vez o comprimento, a restrição de arame é
2x + y = 800

Passo 3

Da restrição isolamos y:
y = 800 - 2x
A área do retângulo em função de x é
A(x) = x cdot y = x(800 - 2x) = 800x - 2x^2

Passo 4

Para maximizar A(x), notamos que é uma parábola voltada para baixo. Podemos usar a derivada:
A'(x) = 800 - 4x
Igualando a zero para achar o ponto crítico:
800 - 4x = 0 Longrightarrow x = 200

Passo 5

Substituindo x = 200 na expressão de y:
y = 800 - 2cdot200 = 400
Logo, a área fica máxima quando a profundidade é 200 m e o comprimento paralelo ao rio é 400 m.

Resposta

A profundidade deve ser 200 m e o comprimento paralelo ao rio deve ser 400 m.

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