Resolver os seguintes problemas:
Um fazendeiro deseja cercar um campo retangular com 800 m de arame. O campo deve margear um rio retilíneo de modo que o lado correspondente ao rio não necessita de arame. Quais deveriam ser as dimensões do retângulo de modo que a área do campo seja máxima?
Um fazendeiro deseja cercar um campo retangular com 800 m de arame. O campo deve margear um rio retilíneo de modo que o lado correspondente ao rio não necessita de arame. Quais deveriam ser as dimensões do retângulo de modo que a área do campo seja máxima?
Passo 1
O enunciado diz que um fazendeiro quer cercar um campo retangular que margeia um rio retilíneo. Como o lado junto ao rio não precisa de arame, ele usará os
m de arame para cercar apenas os outros três lados. Queremos achar as dimensões que maximizam a área desse campo. O conteúdo aqui é otimização de uma função quadrática, que faremos modelando a área e encontrando seu máximo.
Passo 2
Definimos as variáveis:
profundidade do campo (distância perpendicular ao rio),
comprimento paralelo ao rio.
Como precisamos cercar duas vezes a profundidade e uma vez o comprimento, a restrição de arame é
Como precisamos cercar duas vezes a profundidade e uma vez o comprimento, a restrição de arame é
Passo 3
Da restrição isolamos
:
A área do retângulo em função de
é
Passo 4
Para maximizar
, notamos que é uma parábola voltada para baixo. Podemos usar a derivada:
Igualando a zero para achar o ponto crítico:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Logo, a área fica máxima quando a profundidade é
m e o comprimento paralelo ao rio é
m.
Resposta
A profundidade deve ser
m e o comprimento paralelo ao rio deve ser
m.