Ache uma condiçlio necessäria e suficiente para que uma equaçåo diferencial da forma
(x^2+alpha) y^prime prime+beta x y^prime+gamma y=0
tenha uma solução polinomial de graa n.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
l(x^2+alphar),y''+beta,x,y'+gamma,y=0
e pede uma condição para que exista uma solução polinomial de grau n.
Vamos supor
y(x)=sumk=0^nak,x^k, anneq0,
e determinar requisitos sobre os parâmetros para que ao substituir em toda a EDO as potências de x cessem em k=n.

Passo 2

Calculemos apenas o coeficiente de x^n após substituir y.
Como
y'(x)=sumk=1^nk,ak,x^k-1, y''(x)=sumk=2^nk(k-1),ak,x^k-2,
o termo de maior grau em l(x^2+alphar)y'' é
x^2cdot n(n-1),an,x^n-2=n(n-1),an,x^n,
o de beta,x,y' é
beta,xcdot n,an,x^n-1=beta,n,an,x^n,
e o de gamma,y é
gamma,an,x^n
Para que o x^n desapareça (e portanto não gere grau acima de n), precisamos de
n(n-1),an+beta,n,an+gamma,an=0 Longrightarrow n(n-1)+beta,n+gamma=0

Passo 3

Podemos também ver o restante dos coeficientes gerando a recorrência
l[k(k-1)+beta,k+gammar],ak +alpha,(k+2)(k+1),ak+2=0, k=0,1,2,dots
que expressa ak+2 em função de ak. Para que a série termine em k=n basta que, ao chegar em k=n, o numerador
,n(n-1)+beta n+gamma seja zero, anulando an+2 sem necessidade de ajustar alpha.

Passo 4

Concluímos que a condição necessária (e também suficiente, pois com ela fechamos a recorrência num grau finito) é
n(n-1)+beta,n+gamma=0,
ou, equivalentemente,
gamma=-nl(n-1+betar)

Resposta

A equação diferencial terá solução polinomial de grau n se, e somente se,
n(n-1)+beta,n+gamma=0

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