Ache uma condiçlio necessäria e suficiente para que uma equaçåo diferencial da forma
tenha uma solução polinomial de graa
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede uma condição para que exista uma solução polinomial de grau
.
Vamos supor
Vamos supor
e determinar requisitos sobre os parâmetros para que ao substituir em toda a EDO as potências de
cessem em
.
Passo 2
Calculemos apenas o coeficiente de
após substituir
.
Como
Como
o termo de maior grau em
é
o de
é
e o de
é
Para que o
desapareça (e portanto não gere grau acima de
), precisamos de
Passo 3
Podemos também ver o restante dos coeficientes gerando a recorrência
que expressa
em função de
. Para que a série termine em
basta que, ao chegar em
, o numerador
seja zero, anulando
sem necessidade de ajustar
.
Passo 4
Concluímos que a condição necessária (e também suficiente, pois com ela fechamos a recorrência num grau finito) é
ou, equivalentemente,
Resposta
A equação diferencial terá solução polinomial de grau
se, e somente se,