Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto x=0, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
(x^3+2) y^prime prime+6 x^2 y^prime-6 x y=0.

Passo 1

O enunciado pede solução em série de potências, em torno de x=0, da equação
l(x^3+2r),y''+6x^2,y'-6x,y=0
Como o coeficiente de y'' em x=0 é 2neq0, x=0 é ponto ordinário e podemos usar o método de séries.

Passo 2

Suponha
y=sumn=0^inftyanx^n,
então
y'=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n, y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo em l(x^3+2r)y''+6x^2y'-6x,y=0 e igualando coeficientes de x^m a zero, obtém-se para m>=0:
2(m+2)(m+1)am+2 +l[(m-1)(m-2)+6(m-1)-6r]am-1=0
Simplificando o termo entre colchetes nota-se que (m-1)(m-2)+6(m-1)-6=m^2+3m-10.

Passo 4

Dos primeiros casos isolados surge
m=0: 4,a2=0implies a2=0,
m=1: 12,a3-6,a0=0implies a3=tfrac12,a0,
m=2: 24,a4+6,a1=0implies a4=-tfrac14,a1
Para m>=3 a recorrência geral é
am+2 =-(m^2+3m-10),am-12(m+2)(m+1) =-(m-2)(m+5)2(m+2)(m+1),am-1

Passo 5

Há duas constantes livres a0 e a1, gerando duas soluções independentes:
Solução 1 ( a0=1,;a1=0)
Os primeiros termos são
a0=1,;a3=tfrac12,;a6=-tfrac320,;a9=tfrac116,dots
Logo
y1(x)=1+tfrac12x^3-tfrac320x^6+tfrac116x^9+cdots
Solução 2 ( a0=0,;a1=1)
Calcula-se
a1=1,;a4=-tfrac14,;a7=tfrac556,dots
Logo
y2(x)=x-tfrac14x^4+tfrac556x^7+cdots

Passo 6

O raio de convergência vem da singularidade de x^3+2=0, isto é l|xr|<raiz[3]2.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,l(1+tfrac12x^3-tfrac320x^6+cdotsr) +C2,l(x-tfrac14x^4+tfrac556x^7+cdotsr),
válida para lvert xrvert<raiz[3]2.

Exercícios relacionados