Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto x=0, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
(x^3-8) y^prime prime+x^2 y^prime+x y=16.

Passo 1

O enunciado pede que, em torno de x=0, apliquemos o método dos coeficientes indeterminados para resolver
(x^3 - 8),y'' + x^2,y' + x,y = 16
ou seja, vamos supor uma solução em série de potências
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', substituir na EDO e igualar termo a termo em cada potência de x.

Passo 2

Escrevendo
y=sumn=0^inftyanx^n, y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2,
obtemos ao multiplicar cada termo:
x^3y''=sumn=2^infty n(n-1)an x^n+1, -8y''=-8sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2,
x^2y'=sumn=1^infty n,an x^n+1, xy=sumn=0^infty an x^n+1
Alinhando tudo em potências x^m e somando com o membro de 16 (que é 16x^0) formamos a condição de cancelamento de coeficientes.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^m obtemos:
– Para m=0:
-8cdot2cdot1,a2 = 16Longrightarrow a2=-1
– Para m=1:
-8cdot3cdot2,a3 + a0 = 0Longrightarrow a3=a048
– Para m>=2:
(m^2-2m+2),am-1;-;8(m+2)(m+1),am+2=0
isto é, em bloco:
am+2=m^2-2m+28,(m+2)(m+1),am-1, m>=2

Passo 4

Essa recorrência liga coeficientes com diferença de índice 3, logo temos três famílias de soluções:
– uma iniciada em a0 (índices n=0,3,6,dots),
– outra em a1 (índices n=1,4,7,dots),
– e uma particular em a2 (índices n=2,5,8,dots).
As constantes livres a0 e a1 geram as duas soluções independentes da homogênea, e a2=-1 define uma solução particular.

Passo 5

Calculando os primeiros termos de cada série:
Para y1 com (a0=1,a1=0,a2=0): y1(x)=1+x^348+x^61152+cdots
Para y2 com (a0=0,a1=1,a2=0): y2(x)=x+x^448+17,x^716128+cdots
Para yp (particular) com (a0=0,a1=0,a2=-1): yp(x)=-x^2-x^532-13,x^87168+cdots

Passo 6

A solução geral da EDO não–homogênea é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)+yp(x),
e como o ponto singular mais próximo de x=0 vem de x^3-8=0 em x=2, o raio de convergência é 2.

Resposta

A solução em série em torno de x=0 é
y(x)=C1l(1+tfracx^348+tfracx^61152+cdotsr) +C2l(x+tfracx^448+tfrac17x^716128+cdotsr) -;x^2-tfracx^532-tfrac13x^87168-cdots,
válida para |x|<2.

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