Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto
, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
.
Passo 1
O enunciado pede que, em torno de
, apliquemos o método dos coeficientes indeterminados para resolver
ou seja, vamos supor uma solução em série de potências
calcular
e
, substituir na EDO e igualar termo a termo em cada potência de
.
Passo 2
Escrevendo
obtemos ao multiplicar cada termo:
Alinhando tudo em potências
e somando com o membro de 16 (que é
) formamos a condição de cancelamento de coeficientes.
Passo 3
Igualando coeficientes de
obtemos:
– Para :
– Para
– Para
:
– Para
:
isto é, em bloco:
Passo 4
Essa recorrência liga coeficientes com diferença de índice 3, logo temos três famílias de soluções:
– uma iniciada em (índices
),
– outra em (índices
),
– e uma particular em (índices
).
As constantes livres e
geram as duas soluções independentes da homogênea, e
define uma solução particular.
– uma iniciada em
– outra em
– e uma particular em
As constantes livres
Passo 5
Calculando os primeiros termos de cada série:
Passo 6
A solução geral da EDO não–homogênea é
e como o ponto singular mais próximo de
vem de
em
, o raio de convergência é
.
Resposta
A solução em série em torno de
é
válida para
.